Материал: Методические указания. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л

5. Дисперсия случайной величины не изменится, если к ней добавить постоянную величину, т.е.

D X C D X .

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для характеристики разброса часто удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой величиной является среднеквад-

ратическое отклонение.

Среднеквадратическим отклонением случайной величины X называется неотрицательное число X , равное

положительному значению квадратного корня из дисперсии случайной величины X :

10.1.3. Моменты

Для более полного описания случайной величины применяют еще ряд характеристик, среди которых чаще всего используются так называемые моменты. Различают начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k -го порядка (k 1, 2, ) слу-

чайной величины X называется действительное числоk k X , равное математическому ожиданию случай-

ной величины Xk , если оно существует.

Из этого определения следует, что начальный момент первого порядка есть математическое ожидание случайной величины: 1 M X .

Центральным моментом k -го порядка (k 1, 2, )

случайной величины X называется действительное числоk k X , равное математическому ожиданиюk -й сте-

пени отклонения случайной величины от своего матема-

тического ожидания Xk , если оно существует.

Между начальными и центральными моментами существуют связывающие их соотношения. Например, раскрывая

X 1 2 X 2 2 1X 12 ,

X 1 3 X3 3 1X2 3 12X 13 ,

X 1 4 X4 4 1X3 6 12X2 4 13X 14 ,

получим:

2 M X 2 2 1X 12 2 12 ,

3 M X3 3 1X2 3 12X 13 3 3 1 2 2 13 ,4 M X 4 4 1X3 6 12X2 4 13X 14

4 4 1 3 6 12 2 3 14 .

Чем больше моментов случайной величины известно, тем более детальное представление мы имеем о ее законе распределения.

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка, если они существуют, равны нулю. Через центральный момент третьего порядка определяется коэффициент

асимметрии As X 3 X 3 X , характеризующий "ско-

шенность" распределения.

Через центральный момент четвертого порядка определя-

ется коэффициент эксцесса Ex X 4 X 4 X 3, ха-

рактеризующий "островершинность" распределения.

10.2. Примеры решения задач

Пример 1. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на исправность. Исправность каждого из приборов равна 0,8. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался исправным. Найти закон распределения случайной величины X

– числа испытанных в данном эксперименте приборов, вычис-

лить M X , D X , X , Mo X , P 2 X 5 .

Решение. Очевидно, что X – ДСВ, причем ее возможные значения составляют множество 1, 2, 3, 4, 5 . Найдем соот-

ветствующие вероятности с помощью теорем сложения и умножения. P X 1 P {первый испытанный прибор оказался неисправным}=1-0,8=0,2. P X 2 P {первый испытанный прибор оказался исправным, а второй неисправным}=0,8·0,2=0,16. P X 3 P{первый и второй испытан-

ные приборы оказались исправными, а третий неисправ-

ным}=0,8·0,8·0,2=0,128. P X 4 P {первый, второй и тре-

тий испытанные приборы оказались исправными, а четвертый

второй, третий и четвертый испытанные приборы оказались исправными, а пятый может оказаться неисправным или ис-

правным}=0,8·0,8·0,8·0,8·(0,2+0,8)=0,4096. Запишем искомый закон распределения ДСВ X :

Контроль: 0,2+0,16+0,128+0,1024+0,4096=1.

Вычисляем математическое ожидание данной случайной величины:

MX x1p1 x2 p2 x3p3 x4 p4 x5 p5

1 0,2 2 0,16 3 0,128 4 0,1024 5 0,4096 3,3616.

Вычисляем дисперсию данной случайной величины:

D X M X2 M2 X

x12 p1 x22 p2 x32 p3 x42 p4 x52 p5 M2 X

11 0,2 22 0,16 32 0,128 42 0,1024 52 0,4096

3,36162 2,57.

Вычисляем среднеквадратическое отклонение:

X D X 2,57 1,6.

Мода данной случайной величины равна Mo X 5, так

как соответствующая вероятность p5 0,4096 максимальна.

Находим

P 2 X 5 P X 2 P X 3 P X 4

0,16 0,128 0,1024 0,3904.

Пример 2. Устройство состоит из 4 элементов, работающих независимо. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна 0,1. Найти закон распределения случайной величины X – числа отказавших элементов за время опыта, вычис-

лить M X , D X , X , Mo X , P 2 X 2 .

Решение. Очевидно, что X – ДСВ, причем ее возможные значения составляют множество 0, 1, 2, 3, 4 . Замечаем, что в

данном вероятностном эксперименте проводятся 4 повторных испытаний, причем

1)эти испытания независимы;

2)в каждом испытании два исхода – отказ и работа;

3)вероятность отказа в каждом испытании одинакова. Следовательно, мы имеем схему испытаний Бернулли с параметрами n 4 и p 0,1. Соответствующие вероятности нахо-

дим по формуле Бернулли:

P X 0 P4 0 C40 p0q4 1 0,10 0,94 0,6561; P X 1 P4 1 C41p1q3 4 0,11 0,93 0,2916 ; P X 2 P4 2 C42p2q2 6 0,12 0,92 0,0486; P X 3 P4 3 C43p3q1 4 0,13 0,91 0,0036; P X 4 P4 4 C44p4q0 1 0,14 0,90 0,0,0001.

Запишем искомый закон распределения ДСВ X :

Контроль: 0,6561+0,2916+0,0486+0,0036+0,0001=1.

Вычисляем математическое ожидание данной случайной величины:

M X x1p1 x2 p2 x3p3 x4 p4 x5 p5

0 0,6561 1 0,2916 2 0,0486 3 0,0036 4 0,0001 0,4.

Или, согласно формуле для биномиального распределения,

M X np 4 0,1 0,4.

Вычисляем дисперсию данной случайной величины:

D X M X2 M2 X

x12 p1 x22 p2 x32 p3 x42 p4 x52 p5 M2 X

02 0,6561 12 0,2916 22 0,0486 32 0,0036 42 0,0001

0,42 0,52 0,16 0,36.

Или, согласно формуле для биномиального распределения,

D X npq 4 0,1 0,9 0,36.

Вычисляем среднеквадратическое отклонение:

X D X 0,36 0,6.

Мода данной случайной величины равна Mo X 0, так

как соответствующая вероятность p1 0,6561 максимальна. Находим

P 2 X 2 P X 0 P X 1

0,6561 0,2916 0,9477 .

Пример 3. Аппаратура состоит из 4000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время T с вероятностью 0,0005. Найти закон распределения случайной величины X – числа элементов, вышедших из строя за время T , вычислить M X , D X , X , Mo X ,

P 2 X 5 .

Решение. Очевидно, что X – ДСВ, причем ее возможные значения составляют множество 0, 1, 2, , 4000 . Замечаем,

что в данном вероятностном эксперименте проводятся 4000 повторных испытаний, причем

1) эти испытания независимы;

2)в каждом испытании два исхода – отказ и работа;

3)вероятность отказа в каждом испытании одинакова. Следовательно, мы имеем схему испытаний Бернулли с пара-

их произведение np 2 порядка единицы (0,1÷10), то для вычисления соответствующих вероятностей применима фор-

D X 2 1,41. Мода данной случайной величины име-

ет два значения: 1 и 2, так как соответствующие вероятности p2 p3 0,27067 максимальны. Находим

P 1 X 4 P X 2 P X 3

0,27067 0,18045 0,45112.

Пример 4. В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Найти закон распределения случайной величины X – числа нестандартных деталей среди отобранных, вычислить M X , D X , X , Mo X ,

P 0 X 2 .

Решение. Очевидно, что X – ДСВ, причем ее возможные значения составляют множество 0, 1, 2 . Соответствующие

вероятности находим по формуле классической вероятности:

Запишем искомый закон распределения ДСВ X (гипергеометрическое распределение):

Таблица 4

Вычисляем математическое ожидание данной случайной величины:

Или, согласно формуле для гипергеометрического распределе-

ния, M X n M 2 3 0,6. N 10

Вычисляем дисперсию данной случайной величины:

D X M X2 M2 X x12 p1 x22 p2 x32 p3 M2 X

02 7 12 7 22 1 0,62 0,73 0,36 0,373. 15 15 15

Или, согласно формуле для биномиального распределения,

Вычисляем среднеквадратическое отклонение:

X D X 0,373 0,61.

Мода данной случайной величины имеет два значения: 0 и 1, так как соответствующие вероятности p1 p2 715 максимальны.

Находим

P 0 X 2 P X 1 P X 2 7 1 8 0,533. 15 15 15

Пример 5. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания в мишень для них соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти закон распределения случайной величины X – разности числа попаданий в мишень первого и второго стрелка, вычислить M X ,

D X , X , Mo X , P 3 X 1 .

Решение. Очевидно, что X – ДСВ, причем ее возможные значения составляют множество 1, 0,1 . Найдем соответст-

вующие вероятности с помощью теорем сложения и умножения:

P X 1 P{первый стрелок промахнулся, а второй попал}=

1 0,7 0,8 0,24;

P X 0 P {оба стрелка промахнулись или оба попали}=

1 0,7 1 0,8 0,7 0,8 0,06 0,56 0,62;

P X 1 P {первый стрелок попал, а второй промахнулся}=

0,7 1 0,8 0,14.

Запишем искомый закон распределения ДСВ X : Таблица 5

Контроль: 0,24+0,62+0,14=1.

Вычисляем математическое ожидание данной случайной величины:

M X x1p1 x2 p2 x3p3 1 0,24 0 0,62 1 0,14 0,1.

Вычисляем дисперсию данной случайной величины:

D X M X2 M2 X x12 p1 x22 p2 x32 p3 M2 X

1 2 0,24 02 0,62 12 0,14 0,12 0,38 0,01 0,37 .

Вычисляем среднеквадратическое отклонение:

X D X 0,37 0,61.

Мода данной случайной величины равна Mo X 0, так

как соответствующая вероятность p2 0,62 максимальна. Находим

P 3 X 1 P X 1 P X 0 0,24 0,62 0,86.

Пример 6. Длительность времени безотказной работы T элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

F t P T t 1 e t ( 0)

определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t. Функцией надежностью R t называют функцию, оп-

ределяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:

(10.15)

Доказать характеристическое свойство показательного закона надежности: вероятность безотказной работы элемента в интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности интервала t (при заданной интенсивности отказов ).