Документ: Методические указания. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л, страницы 11-15

Решение. Введем обозначения событий: A безотказ-

ная работа элемента в интервале 0, t0 длительностью	t0 ,
B безотказная работа элемента в интервале (t0, t0 t)	дли-

тельностью t . Тогда событие AB безотказная работа эле-

мента в интервале (0, t0 t) длительностью t0 t . По форму-

ле (10.15) найдем вероятности этих событий:

P A e t0 , P B e t , P AB e (t0 t) .

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (t0, t0 t) при условия, что он уже

проработал в предшествующем интервале 0, t0 :

P B A	P AB	e t0 t
			e t .
	P A
		e t0

Так как в полученной формуле не содержится t0, а содержится только t, то это и означает, что время работы в предшествующем интервале 0, t0 не влияет на величину вероятности без-

отказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины t последующего интервала (t0, t0 t), что и требова-

лось	доказать. Другими словами, условная вероятность
P B	A безотказной работы в интервале времени длительно-

стью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безотказной вероятности P B .

Пример 7. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого

элемента имеет показательное распределение F t 1 e 0,02t ,
	1
а второго F t 1 e 0,05t .	Найти вероятность того,	что за
2
время длительностью t 6:	а) оба элемента откажут;	б) оба

элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет, д) оба элемента проработают за время от 3 до 10

Решение. а) Вероятность отказа первого элемента за вре-

мя t 6	равна	p F		6 1 e 0,026	1 0,887 0,113.	Веро-
		1	1
ятность	отказа	второго элемента			за время t 6	равна

p2 F2 6 1 e 0,056 1 0,741 0,259. Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероят-

ностей равна p1p2 0,113 0,259 0,03.

б) Вероятность безотказной работы первого элемента

q1 R1 6 1 p1 1 F1 6 e 0,026 0,887.

Вероятность безотказной работы второго элемента

q2 R2 6 1 p2 1 F2 6 e 0,056 0,741.

Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов

q1 q2 0,887 0,741 0,66.

в) Вероятность того, что откажет только один элемент, равна вероятности того, что откажет первый элемент или вто-

рой элемент: p1q2 p2q1 0,113 0,741 0,259 0,887 0,31.

г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет p 1 q1q2 1 0,66 0,34.

д) Вероятность того, что первый элемент проработает от 3 до 10 равна

P1 3 T 10 F1 10 F1 3 e 0,023 e 0,0210 0,123.

Вероятность того, что второй элемент проработает от 3 до 10 равна

P2 3 T 10 F2 10 F2 3 e 0,053 e 0,0510 0,854.

Искомая вероятность равна

P1 3 T 10 P2 3 T 10 0,123 0,854 0,105.

19

20

Пример 8. Длительность времени безотказной работы T элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

	0,	t 0
			( 0).
F t		, t 0	( 0).
	1 e t	, t 0

Вычислить pT t ,	M T ,	D T ,	T ,	As T ,	Ex T ,
Mo T , Me T .

Решение. Плотность распределения вероятностей показательного распределения равна

	dF t	0,			t 0
pT t	dF t
			t		( 0).
	dt				( 0).
	dt	e		,	t 0

Математическое ожидание СВ, распределенной по показательному закону

					u t					dv e tdt
M T 1 t e tdt					du dt					v e t
0					du dt					v e t



te t		e tdt				e t					1		.
te t		e tdt											.
		0	0						0
		0

Вычисляем начальный момент второго порядка
				u t2			dv e tdt
				u t2			dv e tdt
2 t2 e tdt				du 2tdt				v e t
0				du 2tdt				v e t
			2				2		2
			2				2		2
t2e t				t e tdt						1				.
	0											2
	0											2
				0

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону

D T M T2 M2 T 2	12	2	1	1	.
		2	2	2

Среднеквадратическое отклонение СВ, распределенной по показательному закону равно T D T 1 .

Вычисляем начальный момент третьего порядка

			u t3	dv e tdt
3 t3 e tdt			du 3t2dt		v e t
0			du 3t2dt		v e t
		3			3		6
		3			3		6
t3e t			t2 e tdt			2			.
t3e t	0							3
	0							3
			0

Вычисляем начальный момент четвертого порядка

							u t4			dv e tdt
4 t4 e tdt						du 4t3dt					v e t
0						du 4t3dt					v e t
	4		t		4		3	t			4		24
	4		t		4		3	t			4		24
t		e				t	e		dt			3		.
t		e		0			e		dt				4
				0									4
						0

Вычисляем центральный момент третьего порядка

		3	2 3	6	3	1	2	2	1	2	,
				3		2			3	3
3	3	1 2	1

Вычисляем центральный момент третьего порядка

4 4 4 1 3 6 12 2 3 14 .

24	4	1	6	6	1	2	3	1	9	.
4		3			2 2			4
									4

Вычисляем коэффициент асимметрии показательного

распределения As T	T	3 T	2	3 2.

3			3

Вычисляем коэффициент эксцесса показательного рас-

пределения Ex T 4 T	4 T 3	9	4 3 6.
		4

Мода случайной величины, распределенной по показательному закону, равна Mo T 0 (см. рис. 14 из занятия 9).

21

22

Находим	медиану		как	корень		уравнения
F t 1 e t	1 2. Отсюда получаем				e t 1	2 t ln2 ,
т.е. Me T ln2 .
Пример 9. Случайная величина				X	распределена по за-
кону Коши:		x
F	x b carctg	x	при	x .
F	x b carctg		при	x .
X		a
		a

Найти коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа.; вычислить плотность вероятности распределе-

ния Коши

p x ; найти

M X ,

D X ,

X ,

Mo X ,

Me X , P 0 X 2 , квантиль tp порядка

p 0,75.

Решение. Согласно свойствам функции распределения

вероятностей получим при a 0

F ( ) b carctg

b c

b

c 0,

X

a

2

F

( ) b carctg

b c

b

c 1.

X

a

2

Решая эту систему уравнений,

находим:

b

1

,

c

1

. Если

положить a 0, то

2

F

( ) b carctg

b c

b

c 0,

X

a

2

F ( ) b carctg

b c

b

c 1.

X

a

2

Решая эту систему уравнений,

находим:

b

1

,

c

1

. Для

2

дальнейшего решения выберем первый случай, то есть a 0,

b	1	, c	1	и F	x	1	1	arctg	x	.
2				X	2				a
2					2				a

Плотность вероятности распределения Коши равна

1

a

p x FX (x)

arctg

x

x 2 a

x2 a2

2

a

1

при x .

a

Находим математическое ожидание

a

xdx

a

0

xdx

a

xdx

M X xp(x)dx

.

x

2

x

2

x

2

a

0

a

Записанный выше интеграл является несобственным, поэтому рассмотрим сначала интеграл

0

xdx

0

xdx

1

0

2

)

lim

d(x a

x

2

x

2 2

a

b

a

2b

b

x a

1

lim ln

x2

a2

0

1

lim

lna2 ln

b2 a2

.

2b

b

2b

Полученный результат означает, что рассмотренный нами интеграл расходится, следовательно, расходится и интеграл

a		xdx
				, а это означает, что математического ожидания
		2	2
	x	a

для распределения Коши не существует.

Так как математическое ожидание не существует, то также не существует D X и X .

Находим моду распределения Коши Mo X , т.е. такое

значение x, при котором плотность p x максимальна. Опре-

деляем критические точки первого порядка

a

1

a

2x

p x

0 x 0.

2 a2

x

2

x

a

23

24

Так как p x 0 при	x 0 и	p x 0 при x 0, то точка
x 0 является точкой максимума функции			p x , таким обра-
зом, мода Mo X 0.

Находим медиану распределения Коши Me X , т.е. такое значение x, при котором

F	x	1	1	arctg	x		1	.

X	2				a	2

Из этого уравнения следует

1arctg x 0 x 0.

a

Таким образом, медиана Me X 0.

Находим вероятность попадания в интервал


					P 0 X 2 F(2) F(0)
		1			1	arctg		2			1		1			arctg			0			1		arctg		2	.
						arctg										arctg			a					arctg			.
		2						a			2								a		2					a
Находим квантиль tp										порядка p 0,75 из условия
				FX tp					1			1		arctg			tp			0,75.
				FX tp										arctg						0,75.
Получим							2											a
Получим			tp												tp								tp
1			tp												tp								tp
	arctg			0,25			arctg																		tg			1.
	arctg		a	0,25			arctg								a		4								tg			1.
			a												a		4							a	4

Таким образом, квантиль t0,75 a.

10.3.Контрольные вопросы и задания

1.Что называется математическим ожиданием случайной величины? Запишите формулы для расчета математического ожидания ДСВ и НСВ.

2.Приведите значения математических ожиданий для ДСВ и НСВ, рассмотренных в занятии № 9.

3. Запишите основные свойства математического ожида-

ния.

4.Что такое медиана и мода случайной величины, квантиль и критическая точка порядка p ?

5.Что называется дисперсией случайной величины? Запишите формулы для расчета дисперсии ДСВ и НСВ.

6.Приведите значения дисперсий для ДСВ и НСВ, рассмотренных в занятии № 9.

7.Запишите основные свойства дисперсии.

8.Что называется среднеквадратическим отклонением случайной величины? В чем заключается преимущество использования СКО по сравнению с дисперсией?

9. Что	называется начальным	моментом	k -го порядка
(k 1, 2, )	случайной величины?	Запишите	формулы для

расчета начальных моментов ДСВ и НСВ.

10. Что называется центральным моментом k -го порядка (k 1, 2, ) случайной величины? Запишите формулы для расчета центральных моментов ДСВ и НСВ.

11.Как определяется коэффициент асимметрии случайной величины, что он характеризует?

12.Как определяется коэффициент эксцесса случайной величины, что он характеризует?

10.4.Задания для самостоятельной работы

1.Разберитесь в решении задач [2], №№ 188, 192, 196, 197, 199, 207, 210, 213, 215, 218, 222, 227, 228, 230, 275, 277, 280, 285, 286, 292, 294, 295, 297, 301, 305, 344, 353, 356.

2.Решите задачи [2], №№ 191, 193, 194, 198, 200, 211, 214, 216, 217, 219, 220, 223, 229, 231, 276, 278, 279, 281, 287, 288, 289, 293, 296, 298, 302, 306, 316, 324, 354, 357, 358, 359, 361, 362, 363.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет, коллоквиум, экзамен.

25

26

ЗАНЯТИЕ № 11 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

11.1.Основные понятия

Ввероятностных моделях реальных явлений часто приходится учитывать сразу несколько случайных факторов. Например, при массовом изготовлении какой-либо детали различные ее размеры нужно рассматривать в совокупности. Это естественным образом приводит к необходимости совместного рассмотрения нескольких случайных величин. При этом удобно использовать геометрическую терминологию, представляя

совокупность n случайных величин X1, X2, , Xn как слу-

чайную точку в n-мерном пространстве или как n-мерный вектор X с координатами X1, X2, , Xn .

Пусть на вероятностном пространстве , , P за-

даны случайные величины X1 X1( ) , X2 X2( ), …,

Xn Xn( ), . Вектор X( ) X1( ), X2( ), , Xn( )

называется случайным вектором или n-мерной случайной

величиной.

Функция FX (x) FX1X2 Xn (x1, x2, , xn)

P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) (xk , k 1, 2, , n)

называется функцией распределения n-мерного случайного

вектора или функцией совместного распределения случайных величин X1, X2, , Xn .

Функция распределения FX (x) определяет закон распре-

деления n-мерной случайной величины.

Для наглядности и краткости записи дальше будем рассматривать двумерные случайные величины. Функция распределения двумерного случайного вектора определяется равенством

		FXY (x, y) P(X x, Y y).									(11.1)
Геометрически функция распределения FXY (x, y)											задает веро-
ятность попадания точки X,						Y		в бесконечный прямоуголь-
ник П X, Y 2			: X x, Y y .
Основные свойства функции совместного распределения
двух случайных величин X и Y .								FXY (x, y) является неубы-
1.	Функция распределения							FXY (x, y) является неубы-
вающей	по	обоим	аргументам,					то есть		если	x1 x2 , то
FXY (x1, y) FXY (x2,			y) и		если				y1 y2,	то	FXY (x, y1)
FXY (x, y2) .
2.	FXY (x, y) непрерывна слева по каждому аргументу.
3.	F	( , y) lim		F		(x, y) 0 ,
	XY		x	XY
	F	(x, ) lim		F		(x, y) 0,
	XY		y	XY
	F	( , ) lim			F		(x,		y) 0,
	XY		x		XY
			y
	F	( , ) lim			F		(x,		y) 1.
	XY		x		XY

y

4. P x1 X x2, y1 Y y2

FXY (x2, y2) FXY (x1, y2) FXY (x2, y1) FXY (x1, y1).

Это свойство позволяет вычислить вероятность попадания двумерной случайной величины (случайной точки) в прямо-

угольник	П X, Y : x1	X x2, y1 Y y2 с помощью
функции совместного распределения FXY (x, y).
5. F	(x, ) lim	F	(x, y) F (x),
XY	y	XY	X
F	( , y) lim	F	(x, y) F (y).
XY	x	XY	Y

27

28

Материал: Методические указания. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л

Смотрите также: