Документ: Методические указания. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л, страницы 21-25

г) Искомую вероятность находим по формуле

P(X 1, Y 2) P(2 X 4, 0 Y 2)

F(4, 2) F(2, 2) F(4, 0) F(2, 0)0,7131 0,4761 0 0 0,237.

Этот же результат можно получить непосредственным подсчетом вероятностей

P(X 1, Y 2) p31 p41 p32 p42

0,0652 0,0087 0,1370 0,0261 0,237.

д) Составляющие X и Y зависимы, так как, например,

p22 P X 1, Y 1 0,2087

P X 1 P Y 1 0,4565 0,4696 0,2144 .

е) Вычислим условные вероятности случайной величины X при условии Y 1 по формуле (11.4)

	P X 0/Y 1			P X 0, Y 1				0,0978		0,2083,
				P Y 1
						0,4696
	P X 1/Y 1		P X 1, Y 1			0,2087				0,4444,
						0,4696
				P Y 1
	P X 2/Y 1		P X 2, Y 1				0,137			0,2917,
						0,4696
				P Y 1
	P X 3/Y 1		P X 3, Y 1					0,0261	0,0556.
						0,4696
				P Y 1
Записываем искомый условный закон распределения X
											Таблица 10

	X	0			1		2				3
	P(X xi /Y 1)	0,2083			0,4444		0,2917				0,0556

Контроль: P(X xi /Y 1) 1.

i

Вычислим условные вероятности случайной величины Y при условии X 2 по формуле (11.5)

	P Y 0/ X 2			P Y 0, X 2							0,0652		0,2221,
				P X 2
						0,2935
	P Y 1/ X 2		P Y 1, X 2				0,137						0,4668,

				P X 2		0,2935
	P Y 2/ X 2		P Y 2, X 2							0,0783		0,2668,

				P X 2		0,2935
	P Y 3/ X 2		P Y 3, X 2					0,013					0,0443.

				P X 2		0,2935
Записываем искомый условный закон распределения Y
														Таблица 11

	Y	0			1				2					3
	P(Y yj / X 2)	0,2221			0,4668				0,2668					0,0443

Контроль: P(Y yj / X 2) 1.

j

Пример 2. Плотность распределения вероятностей дву-

мерного случайного вектора X, Y имеет вид
		x	y
csin				при 0 x a,	0 y b
csin				при 0 x a,	0 y b
pXY (x, y)		2a	2b
	в остальных случаях
0	в остальных случаях
Требуется:
а) найти значение постоянной с;
б) найти вероятность попадания случайной точки X, Y
в треугольник с	вершинами			A(a 4, 3b 4),	B(a 2, b 4) и
C(3a 4, b 2) ;

39

40

в) найти функцию распределения системы X,

Y ;

г) найти функции распределения составляющих X и Y ;

д) найти плотности распределения вероятностей состав-

ляющих X и Y ;

е) установить, зависимы или независимы составляющие

X и Y ;

ж) найти условные плотности распределения вероятно-

стей составляющих X и Y .

Решение. а) постоянную с находим из условия норми-

ровки

a

b

x

y

dx pXY (x, y)dy dx csin

dy

0

2a

2b

a

2b

x

y

b

2bc a

x

c dx

cos

sin

cos

dx

2a

2b

2a

0

a

2bc 2a

cos

x

sin

x

4abc

1 1 1 c

2

.

2a

2

2a

0

8ab

б) Определим уравнения сторон треугольника:

AB:

x a/4

y 3b/4

AB:

x a/4

y 3b/4

a/2 a/4

a/4

b/2

b/4 3b/4

или

AB: y

2b

x

5b

,

a

4

AC :

x a/4

y 3b/4

AC :

x a/4

y 3b/4

3a/4 a/4

b/4

b/2 3b/4

a/2

или

AC : y

b

x

7b

,

2a

8

BC:

x a/2

y b/4

BC :

x a/2

y b/4

3a/4 a/2

b/2 b/4

a/4

b/4

или

BC:

y

b

x

b

.

a

4

Вычислим вероятность попадания случайной точки X, Y в

треугольник ABC , учитывая, что треугольник полностью ле-

жит в области

(x,

y)

0 x a,

0 y b

b

x

7b

P (X, Y) ABC

2 a/2

2a

8

x

y

dx

sin

dy

8ab

2b

5b

2a 2b

a/4

x

a

4

3a/4

b

x

7b

2a

8

x

y

dx

sin

dy

2b

a/2

b

2a

x

a

4

2b

x

y

b

x

7b

2 a/2

2a

8

dx

cos

8ab

2a

2b

5b

a/4

x

a

4

3a/4

2b

x

y

b

x

7b

2a

8

dx

cos

2b

2a

b

a/2

x

a

4

a/2

7

5

dx cos

x

cos

x

4a

16

2a

8

a/4

3a/4

7

dx cos

x

cos

x

4a

16

8

a/2

a

x

7

2a

x

5

a/2

4a

sin

4a

16

8

2a

a/4

41

42

	4a				x			7			a				x						3a/4
																					3a/4

			sin									sin
			sin									sin						8
					4a 16											a		8
																					a/2
1		9				3								5					9					3
	4sin			2sin					6 3sin								4sin					sin
	4sin	16		2sin			8		6 3sin						8		4sin			8		sin
4		16					8								8					8			8
					3
							1 cos						0,44 .
							1 cos						0,44 .
					2						4
																	x	y
в)	По определению									FXY (x, y)								pXY (s, t)dsdt .							При

этом необходимо рассматривать различные области.

x y

1)	Если x 0	то FXY (x, y)		0dsdt 0.

		x	y
2)	Если y 0, то FXY (x, y)			0dsdt 0.

3) Если 0 x a

и 0 y b, то

x y

2

sin

s

t

dsdt

F

(x,

y)

XY

8ab

2a

2b

0 0

2

2b x

s

t

y

dscos

8ab

2a

2b

x

0

s

y

s

cos

ds

4a

2a

2b

0

2a

s

y

2a

s x

sin

2a

4a

2b

0

1

x

y

x

y

sin

.

2a

2

2a 2b

2b

4) Если 0 x a

и y b, то

F (x, y)

x b

2

sin

s

t

dsdt

8ab

XY

2a

2b

0 0

2

2b x

dscos

s

t

b

8ab

2a

2b

0

	x		s
		cos
4a		cos	2a
4a			2a
	0

1 s

2 cos 2a

5)Если x a

s

x

s

cos

ds

sin

cos

ds

2

4a

2a

0

s x

1

x

sin

cos

sin

1

2a

2a 0

2

1

x

1

2sin

.

2

2a

4

и 0 y b, то

F

(x,

y)

a y

2

sin

s

t

dsdt

XY

8ab

2a

2b

0 0

2

2b a

s

t

y

dscos

8ab

2a

2b

a

0

s

y

s

cos

ds

4a

2a

2a 2b

0

1

s

y

s a

1

y

sin

cos

1 sin

2

2a

2

2b

2a 0

2b

1

y

1

2sin

.

2b

2

4

6) Если x a и y b, то

43

44

a b

2

sin

s

t

dsdt

F

(x,

y)

8ab

XY

2a

2b

0 0

2 2b a

s

t

b

dscos

8ab

2a

2b

a

s

0

s

a

0

s

cos

ds

sin

cos

ds

4a

2

2a

4a

2a

0

2a

0

2a

1

s

s a

1

1 1 1.

cos

sin

2a

2

2a 0

Таким образом, получаем

0,

x 0 или

y 0

1

x

y

x

y

sin

,

2

2b

2a

0 x a и 0 y b

FXY (x, y)

x

1

0 x a и y b

1

2sin

,

2

4

2a

1

y

x a и 0 y b

1

2sin

,

2

4

2b

x a и y b

1,

г) Согласно свойству функции распределения

FX (x)

FXY (x,

). В данном примере 0 y b, поэтому, исходя из

результатов предыдущего пункта для y b, получим

1) при x 0

FX (x) 0;

2) при 0 x a

F

(x)

1

2sin

x

;

X

4

2a

2

3) при x a

FX (x) 1.

Таким образом, функция распределения компоненты X


0,		x 0
	1			x


FX (x)		1 2sin			,	0 x a
FX (x)	2	1 2sin	4		,	0 x a
	2		4	2a
		x a
1,		x a

Аналогично, FY (y) FXY ( , y). В данном примере 0 x a , поэтому, исходя из результатов предыдущего пункта для x a, получим

1) при y 0 FY (y) 0;

2) при 0 y b

F (y)

1

y

;

2sin

Y

2

4

2b

3) при y b

FY (y) 1.

Таким образом, функция распределения компоненты Y

0,

y 0

1

y

FY (y)

1

2sin

, 0 y b

2

4

2b

y b

1,

д) Плотность распределения вероятностей составляющей

X при 0 x a

b

2

x

y

pX (x)

pXY (x,

y)dy

sin

dy

8ab

2a

2b

0

2

2b

x

y

b

x

cos

2sin

.

8ab

2a

2b

0

4a

2a

4

При x 0 и x a

b

pX (x) pXY (x, y)dy 0dy 0.

0

Другим способом получаем такой же результат

45

46

			2			x		0 x a
pX (x) FX				cos			,
		4a
	(x)				4 2a
			x 0,		a
	0,

Аналогично, плотность распределения вероятностей составляющей Y при 0 y b

pY (y)

2 2a

8ab

При y 0 и y b

pXY (x, y)dx			2
		8ab

x	y		a

cos

2a	2b		0

a

x

y

sin

dx

2a

2b

0

y

2sin

.

4b

2b

4

a

pX (x) pXY (x, y)dy 0dx 0.

0

Другим способом получаем такой же результат

y

2

0 y b

cos

,

4

pY (y) FY (y)

4b

2b

0, y 0, b

е) В области 0 x a

и 0 y b

pXY (x, y)

2

x

y

sin

2a

2b

8ab

sin

x

sin

y

p

(x) p (y)

2

,

X

Y

4a

4

4b

4

2a

2b

поэтому составляющие X и Y зависимы.

ж) Условная плотность распределения вероятностей составляющей X при заданном значении Y y в области

(x, y) 0 x a, 0 y b

x

y

pXY (x, y)

sin

2

2a

p

X

(x/ y)

2b

.

4a

y

p (y)

Y

sin

2b

4

Аналогично, условная плотность распределения вероятностей составляющей Y при заданном значении X x в области

(x, y)

0 x a, 0 y b

x

y

pXY (x, y)

sin

p (y/ x)

2

2a

2b

.

Y

p

X

(x)

4b

x

sin

4

2a

11.3.Контрольные вопросы и задания

1.Как определяется двумерная случайная величина, как

ееможно представить геометрически?

2.Какая двумерная случайная величина называется дискретной?

3.Что такое закон распределения дискретной двумерной случайной величины, как он задается, какому условию должна удовлетворять сумма вероятностей?.

4.Какая двумерная случайная величина называется непрерывной?

5.Что такое плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины, какими свойствами она обладает?

6.Как определяется функция распределения вероятностей двумерной случайной величины, какими свойствами она обладает?

7.Как можно определить функцию распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины из закона распределения?

47

48

Материал: Методические указания. Использование математического моделирования при решении прикладных задач. Дежин В.В., Лапшина М.Л

Смотрите также: