Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Так как  а  то из полученной серии решений следует выбрать только те решения, где  Тогда

или

Произведём оценку выражения, стоящего под знаком радикала. Этот метод также может быть незнаком учащимся.

Имеем:

Откуда

поэтому из последнего уравнения следует, что  может принимать только значения, равные 0 и 1.

Если  то

откуда

Если  то

или

Увлекшись решением, школьники могут совершенно забыть о введённом в самом начале решения условии  которое, очевидно, устраняет два посторонних решения. Поэтому в ответ следует записать только

и

Рассмотрим примеры задач, реализующие внутрипредметные связи между материалом курса алгебры и геометрии 9 класса и материалом курса алгебры и начал анализа 10 класса.

Пример 6. Решить систему уравнений

Преобразуем систему:

В полученной системе сделаем замену переменных по формулам

В новых обозначениях система примет вид:

Подобные системы учащиеся решают в курсе алгебры 9 класса. Безусловно, полученная система уравнений не является слишком сложной и, пожалуй, её уровень низок для рассмотрения на факультативном занятии. Однако мы приводим эту задачу чисто из методических соображений: рассматривать эту задачу на факультативе следует до изучения систем тригонометрических уравнений на обычных уроках. Делается это с той целью, чтобы сломать у учащихся стереотип в решении систем тригонометрических уравнений, поскольку многие школьники при решении таких задач стараются решать их исключительно средствами тригонометрии, не догадываясь о рациональности (а порой, необходимости) перехода к алгебраической задаче.

Приведём краткое решение этой системы. Вполне очевидно, что задачу можно решить с помощью арифметических действий. Вычитая из первого уравнения второе, придём к системе

которая, в свою очередь, распадается на две системы

и

Решением первой системы, в силу условия  является пара чисел  Вторая же система вовсе не имеет решений.

Возвращаясь к старым переменным, получаем систему простейших тригонометрических уравнений

Нетрудно установить, что последняя система имеет решения вида

Заметим при этом, что учителю необходимо обратить внимание учащихся на следующий факт: если при решении тригонометрических уравнений в записи ответов можно использовать одни и те же буквы для обозначения целых параметров, фигурирующих в решении, то в системах тригонометрических уравнений это не допустимо (за исключением систем, содержащих линейную зависимость между переменными): это приводит к потере решений.

Пример 7. Решить уравнение

Решение этой задачи предполагает повторение материала, связанного с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, при условии, что  приведём уравнение к виду

или

откуда

Из первого уравнения совокупности находим  - противоречие с условием

Рассмотрим второе уравнение. Поскольку уравнение  равносильно уравнению , то в виду обозначенного условия равенство  не возможно, и рассматриваемое уравнение можно переписать в виде

из которого следует, что

Пример 8. Решить уравнение

Применим к решению этого уравнения аппарат геометрии.

Пусть вектор  вектор  Очевидно, что

 Уравнение принимает вид:  Отсюда, в силу определения скалярного произведения, следует, что векторы коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны:  Данное уравнение равносильно однородному уравнению  которое в свою очередь равносильно уравнению  откуда  Рассмотрим для параметра  два случая:

.  Тогда

.  Тогда

Легко видеть, что для первой серии значений неизвестной  функции  и  положительны, а для второй серии - отрицательны, следовательно, уравнению могут удовлетворять только значения из первой найденной серии.

Рассмотренный пример призван не только освежить в памяти учащихся некоторые сведения из курса геометрии, но и продемонстрировать новый метод решения уравнений, который, во многих случаях, оказывается более удобным и рациональным при решении задач.

Пример 9. Найдите все значения параметра  при которых не имеет решений уравнение

Легко убедиться, что исходное уравнение можно переписать в виде:

откуда

Проведём исследование полученного уравнения.

Если  то имеем ложное равенство 0=6. Следовательно, данное значение параметра удовлетворяет условию задачи.

Пусть Тогда уравнение можно переписать в виде

Поскольку, в силу ограниченности функции ,  то уравнение не будет иметь решений в двух следующих случаях:

.

.

Рассмотрение двух последних случаев сводится к решению дробно-рациональных неравенств. Для учащихся 10-11 классов это является лишней (но нужной) возможностью повторить метод решения таких неравенств. Нетрудно убедиться, что первому случаю соответствуют значения  а второму -  

Объединяя все рассмотренные случаи, приходим к выводу, что требованию задачи удовлетворяют значения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим в заключении основные результаты, полученные в предлагаемой курсовой работе.

. Проведён анализ психолого-педагогической и методической литературы. При этом установлена решающая роль задачи как основного средства обучения математике, рассмотрены различные подходы к определению понятия “задача”.

. С опорой на научные исследования введено понятие внутрипредметных связей, рассмотрены основные виды внутрипредметных связей, проведён подробный разбор примеров, иллюстрирующих каждый из видов этих связей. Рассмотрена и отмечена методическая значимость применения внутрипредметных связей в школьном курсе математики.

. Подробно проанализирована методика реализации внутрипредметных связей на различных этапах процесса обучения. При этом на каждом этапе обучения показана возможность применения внутрипредметных связей в различных классах при изучении многих разделов школьной математики. Разбор каждого из освещаемых вопросов сопровождается рассмотрением примеров, наглядно иллюстрирующих эффективность реализации внутрипредметных связей при обучении математике.

. На конкретных примерах показана целесообразность применения внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике. Отмечены основные моменты, вызывающие наибольшие затруднения в процессе решения таких задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аксёнов А.А. Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики: Дис…канд. пед. наук. - Орёл, 2000. - 160 с.

. Балл Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. - М.: Педагогика, 1990. - 184 с.

. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. - М.: Мысль, 1970. - 202 с.

. Гальперин П.Я. Психология мышления и учение о поэтапном формировании умственных действий. - М., 1966. - С.236 - 277.

. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. - Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та, 1976. - 314 с.

. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы: Автореф. дис. … д-ра пед. наук. - М., 1977. - 55 с.

. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.I. - М.: Просвещение, 1977. - 110 с.

. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч.II. - М.: Просвещение, 1977. - 144 с.

. Колягин Ю.М. Методические проблемы применения задач в обучении математике//Роль и место задач в обучении математике/Под ред. Ю.М. Колягина. - М.: Изд-во НИИ школ, 1978. - С.5 - 12.

. Колягин Ю.М. Обучение математике в процессе решения задач и обучение решению задач в средней школе. // Вопросы обоснования содержания школьного математического образования. / Под ред. О.А. Боковнева. - М.: Изд-во НИИ школ, 1981. - С.4 - 11.

. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. - М.: Прометей, 1995. - 166 с.

. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. - М.: Педагогика, 1972. - 196 с.

. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ. - мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

. Пономарёв Я.А. Психология творческого мышления. - М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. - 352 с.

. Психология. Словарь. / Под ред. А.В. Петровского, Г.М. Ярошевского. - М.: Политиздат, 1990. - С.396.

. Рубинштейн С.Л. О мышлении и о путях его исследования. - М.: Изд-во АПН СССР, 1958. - 146 с.

. Славская К.А. Детерминация процесса мышления. // Исследование мышления в советской психологии. - М.: Наука, 1966. - С.175 - 224.

. Советский энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. - 4-е изд. - М.: Сов. энциклопедия, 1989. - 1632 с.

. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. - М.: Педагогика, 1977. - 208 с.