Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Резюмируя содержание последнего абзаца, можно сделать однозначный вывод о том, что такая организация обучения математике по сути дела является психолого-педагогической основой реализации внутрипредметных связей посредством решения задач и создаёт предпосылки к разработке теоретических основ методической реализации этих связей.

Построение системы задач, при котором ученики сначала решают задачи на освоение нового материала, а затем на его применение, позволяет решить ещё ряд проблем. Одна из них - дифференциация обучения. Она возникает и вследствие психологических особенностей каждого ученика, например, быстроты мышления. Если на этапе решения задач на применение теоретического материала ученикам представить сразу всю систему задач, то каждый ученик сможет выбрать для себя те из них, которые ему более доступны, а также определить, в какой последовательности их решать. Вышеизложенные рассуждения в своей совокупности неизбежно приводят к выводу о том, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач является одной из важнейших психолого-педагогических особенностей обучения их решению, поскольку она позволяет решать целый ряд смежных проблем обучения, таких, как дифференциация обучения, оптимизация учебной нагрузки и т. д.

1.2 Понятие и виды внутрипредметных связей в обучении математике

В процессе рассмотрения обозначенного вопроса будем опираться на диссертационное исследование А. А. Аксёнова [1].

При определении внутрипредметных связей своей работе [1] автор классифицирует их по двум уровням: “внутрипредметные связи” на уровне математических субъектов и “внутрипредметные связи” на уровне математических объектов. Здесь мы не будем приводить подробное изложение всей теоретической модели, построенной А.А. Аксёновым, а ограничимся кратким освещением основных результатов, полученных в указанной работе.

Прежде всего, под математическим субъектом (субъектом математики) автор понимает “отдельное минимальное утверждение, обладающее строгой внутренней логикой, полностью определяющей его целостность и тождественность самому себе”. При этом всегда можно выяснить, истинно данное утверждение или ложно. Заметим также, что между математическими субъектами может быть установлено только два типа внутрипредметных связей - логический и аналитический [1, с. 37].

Под математическим объектом (объектом математики) следует понимать “любую совокупность субъектов математики”.

Далее А. А. Аксёнов проводит последующее деление на каждом из двух введённых им уровней. При этом имеют место следующие определения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Внутрипредметные связи, установленные между двумя субъектами, называются безусловными, если определение или установление истинности (ложности) одного субъекта невозможно без использования другого субъекта.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Внутрипредметные связи, установленные между двумя субъектами, называются условными, если определение или установление истинности (ложности) одного субъекта всегда возможно без использования другого субъекта, при помощи замены последнего каким-либо другим субъектом (несколькими субъектами).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть А и В - непустые математические объекты, между которыми установлены внутрипредметные связи. Внутрипредметные связи между А и В называются безусловными, если существует, по крайней мере, одна пара субъектов (), где первый компонент принадлежит объекту А, второй - объекту В, между которыми установлены безусловные внутрипредметные связи. В противном случае внутрипредметные связи между объектами А и В называются условными.

Приведённые выше определения позволяют сделать вывод о том, что внутрипредметные связи, реализуемые между математическими субъектами и математическими объектами, могут быть безусловными и условными.

Перейдём теперь к рассмотрению и установлению видов внутрипредметных связей.

Как показано в диссертационном исследовании [1], существует всего два вида внутрипредметных связей логического типа. Первый вид позволяет определять субъекты на основе общей логики, второй вид - устанавливать истинность (ложность) одного субъекта по аналогии с установлением истинности (ложности) другого субъекта.. Первый вид внутрипредметных связей логического типа назовём логической структурой задачи. Термин “логическая структура задачи” встречается в методической литературе [14, С.113]. Авторы шестой главы этого учебного пособия определили логическую структуру задачи как способ связи элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкции и дизъюнкции. Предикаты в данном случае - это отдельные уравнения или неравенства, которые можно выделить в каждом задании. Недостаток такого истолкования термина в том, что его можно применить только к уравнениям, неравенствам и их системам. Помимо этого, данная интерпретация термина не позволяет широко использовать его в качестве одного из видов внутрипредметных связей. В.И. Крупич в своей работе [12] использует термин логическая структура решения задачи. Это совершенно другой термин, означающий некоторый план решения задачи, выполняемого абстрактным субъектом. Этот план заканчивается либо переходом к алгоритмически разрешимой задаче, либо даёт окончательный ответ на вопрос о нахождении всех неизвестных.

Очевидно, что термин “логическая структура задачи” нуждается в уточнении. В советском энциклопедическом словаре термин структура (от латинского слова structura - строение, расположение, порядок) определяется как “совокупность устойчивых связей объекта (имеется в виду любой реальный объект), обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, то есть сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях” [19, С.1294].

Если в качестве объекта, о котором говорится в данном определении, рассмотреть конкретную задачу, то, очевидно, под совокупностью устойчивых связей следует понимать логическую взаимосвязь между её компонентами, а также явные и неявные связи между элементами задачи. Очевидно, что логическая взаимосвязь между компонентами задачи, представленными в её информационной структуре, обуславливает выбор идеи, способа и метода её решения. Значит, логическая структура задачи может быть выявлена из её информационной структуры и должна полностью определять идею решения задачи. Поскольку структура - это совокупность свойств, которые сохраняются при всех внешних и внутренних изменениях, совершаемых над объектом (задачей), то логическая структура задачи не может зависеть от сознания реального субъекта, решающего её. Это означает, что реальный субъект, решающий задачу, может найти лишь ту идею решения, которая обусловлена логическими связями между компонентами задачи. С другой стороны, логическая структура выявляется на основе информационной структуры задачи, следовательно, она не может быть её объективной характеристикой. Логическая структура задачи олицетворяет собой взаимодействие психологического (выполняемого реальным субъектом) и логического (выполняемого абстрактным субъектом) процессов решения задачи, причём такое взаимодействие порождает единство выделенных противоположностей, тем более, что в идеальном случае психологический и логический процессы решения совпадают [12, С.47]. Всё это позволяет более чётко определить понятие логической структуры задачи с учётом того, что оно должно определять математические субъекты на основе их общей внутренней логики.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Локальной логической структурой задачи называется её характеристика, которая может быть выявлена в процессе анализа информационной структуры задачи, полностью обуславливается логикой взаимодействия компонентов задачи, чем однозначно детерминирует первую определяющую идею её решения и не зависит от субъекта, решающего задачу.

Иными словами, локальная логическая структура задачи является совокупностью тех свойств компонентов задачи, которые указывают на реализацию той или иной идеи её решения. Поскольку различные свойства компонентов могут обусловить реализацию нескольких идей решения задачи, некоторые задачи могут иметь несколько локальных логических структур, но каждая из них однозначно определяет соответствующую идею.

Например, уравнение  имеет несколько локальных логических структур. В самом деле, если заметить, что левая часть уравнения - строго возрастающая функция, то можно найти подбором единственный корень. Если заметить, что  то это уравнение можно решить методом разложения на множители. Можно найти корень подбором и воспользоваться схемой Горнера или поделить многочлен  на двучлен  “углом”. Можно решить его по формулам Кардано (степень уравнения - это тоже свойство его компонентов) на множестве действительных чисел. Напротив, уравнение  допускает только одну идею аналитического решения - оценить левую и правую части уравнения, так как не существует формул, позволяющих решать уравнения, в которых присутствуют трансцендентные и алгебраические выражения, следовательно, оно имеет только одну локальную логическую структуру.

Замечание 1. Задача может быть рассмотрена как последовательность n подзадач, каждая из которых сама является отдельной математической задачей. Разумеется, для каждой из них существует своя локальная логическая структура (может быть, несколько таких структур), поэтому реальный процесс решения задачи - это переход от первой локальной логической структуры ко всем последующим. Естественно, по аналогии с глобальной идеей решения задачи можно сформулировать определение глобальной логической структуры задачи.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Глобальной логической структурой задачи называется последовательность локальных логических структур подзадач, на которые мысленно расчленяется исходная задача в процессе решения.

Очевидно, что каждая задача может иметь несколько глобальных логических структур, так как каждая её подзадача может иметь несколько локальных логических структур.

Особого внимания заслуживают задачи, которые имеют только одну первую локальную логическую структуру, а также стандартные задачи, то есть те, которые имеют информационную структуру вида ACRB и ACRX [57, С.51], где А - условие задачи, С - теоретический и (или) практический базис решения задачи, R - способ преобразования условия задачи для нахождения искомого (собственно процесс решения задачи), В - искомое в задаче (требование или цель), Х - означает, что B в задаче не сформулировано.

Что касается стандартных задач (тем более, алгоритмически разрешимых), то они отличаются тем, что для них заранее известен алгоритм, а следовательно, идея, способ и метод решения. Это, например, такие задачи как решение линейных и квадратных уравнений, нахождение гипотенузы по двум известным катетам и т.д.

Пример. Решить уравнение .

Первый вариант решения. Заметим, что можно понизить степень слагаемых в левой части уравнения (первая локальная логическая структура):

 Уравнение приняло вид  поэтому далее необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: ,

Это вторая локальная логическая структура. Последнее уравнение алгоритмически разрешимо, для него логическая структура - известный алгоритм решения. Получаем:  или . Тогда  или  где

Второй вариант решения. Заметим, что

Учитывая основное тригонометрическое тождество, получим такое равенство:

 (Первая локальная логическая структура).

Уравнение примет вид:  В полученном уравнении присутствует произведение синуса и косинуса для одинаковых аргументов, поэтому можно применить формулу синуса двойного угла:

Последнее уравнение также алгоритмически разрешимо. Имеем:  или . Легко видеть, что при решении этих уравнений получатся те же самые корни.

Анализируя оба варианта решения, приходим к выводу, что и в первом и во втором случаях глобальная логическая структура задачи состоит из трёх локальных, причём первая локальная логическая структура различна для первого и второго вариантов решения задачи. Именно она выявила первую определяющую идею решения для обоих случаев. Из этого следует, что уравнение было решено двумя различными методами, а это означает, что оно решено и двумя различными способами. Возможно, что существует ещё несколько глобальных логических структур для этой задачи, но мы не будем задаваться целью найти их, тем более, что реализация внутрипредметных связей посредством решения задач предполагает иную их роль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Две задачи имеют одну и ту же локальную логическую структуру, если для каждой из них существует, по крайней мере, одна локальная логическая структура, детерминирующая одинаковую для обеих задач первую определяющую идею решения.

Например, уравнения  и  имеют одну и ту же локальную логическую структуру, которая определяется свойством строгой монотонности, входящих в оба уравнения, функций. Причём если для первого уравнения возможен ещё целый ряд локальных логических структур, то для второго уравнения (если его решать аналитически) никакие другие локальные логические структуры невозможны.

Рассмотрим ещё две задачи.

ЗАДАЧА 1. Во втором ящике было в два раза больше килограммов конфет, чем в первом, в третьем в три раза больше чем в первом, в четвёртом в четыре раза больше, чем в первом. В третьем и четвёртом ящиках вместе было на 20 килограммов больше, чем в первом и втором вместе. Сколько килограммов конфет было в каждом ящике?

ЗАДАЧА 2. В треугольнике АВС угол В в четыре раза больше угла А, угол С в семь раз больше угла А. Найти градусные меры углов треугольника.

Выявим локальную логическую структуру обеих задач. В обеих задачах имелось несколько неизвестных компонентов (в первой задаче - количество килограммов конфет в каждом ящике, во второй - градусные меры каждого из углов), причём неизвестны были все без исключения компоненты. Известно было только то, как они друг к другу относятся, то есть во сколько раз один компонент больше другого, сколько они составляют вместе и т.д. Локальная логическая структура этих задач одинакова. Именно поэтому обе они решаются с помощью уравнения, причём в данном случае никакие другие идеи, принципиально отличные от применения уравнения, здесь невозможны.

Последние две задачи наглядно демонстрируют, что локальная логическая структура задачи позволяет определять практические субъекты на основе общей логики, что неизбежно приводит к тому, что они имеют одну и ту же первую определяющую идею решения. Это делает возможным строить процесс обучения решению задач так, что ученики будут обучаться не решению задач как таковому, а идеям (а также методам и способам) решения задач. Это позволит ученикам научиться мыслить идеями, “видеть” математические задачи их локальными логическими структурами.

Рассмотрим ещё один пример. Всякое уравнение вида:

, где  и  - некоторые функции действительной переменной, является однородным. Рассматривать решения таких уравнений можно, начиная с восьмого класса. Сначала рассматриваются рациональные однородные уравнения, затем тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения. Также можно рассматривать однородные уравнения, в которых  и  - функции разных видов, например, показательная и иррациональная функции. Обучаясь таким образом, ученики с восьмого класса учатся применять при решении уравнений разных видов одну и ту же идею, один и тот же метод. Разумеется, при таком подходе к обучению решению задач его эффективность возрастает. Очевидно, локальная логическая структура может успешно применяться как вид реализации внутрипредметных связей посредством решения задач не только при изучении уравнений, но и при решении других видов задач (текстовых, геометрических и т.д.). Умение “видеть” задачи их локальными логическими структурами, мыслить при их решении идеями развивает логическое и математическое мышление учеников, способствует формированию теоретического мышления как такового.