Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Проверить, сознательно ли школьники усвоили внутрипонятийные связи, поможет педагогически целесообразная постановка вопросов. Вопрос считается педагогически целесообразным, если ответ на него не копирует учебник, а будит активную, сознательную мысль ученика; такой вопрос должен выявлять степень понимания, а не степень запоминания материала. Например, в 5 классе при изучении натурального ряда чисел учащимся сообщают его свойства: натуральный ряд чисел начинается с 1; каждое следующее натуральное число на единицу больше предыдущего; натуральный ряд чисел неограничен (не имеет конца). При этом вопросы “С какого числа начинается натуральный ряд чисел?”, “На сколько следующее натуральное число больше предыдущего?”, “Конечен ли натуральный ряд чисел?” - педагогически нецелесообразны.

Выявить сознательное усвоение школьниками свойств натурального ряда чисел помогут такие вопросы: “Каково наименьшее натуральное число?”, “Какое натуральное число предшествует 1?”, “Назовите наибольшее натуральное число?”, “Почему  обозначает следующее за натуральным числом  число?”.

Для успешной реализации внутрипонятийных связей необходимо у школьников формировать логические приёмы мышления, такие, как подведение род понятие, сравнение, выведение следствий, построение объектов по определению понятия.

К сожалению, значительная часть учащихся не владеет этими приёмами. Так, при подведении объекта под понятие они опираются не на систему признаков, указанную в определении, а на отдельные признаки. Например, школьники ошибочно дают утвердительные ответы на вопросы: “будут ли углы смежными, если они имеют общую вершину и в сумме составляют ?”, “Будут ли углы вертикальными, если они равны и имеют общую вершину?”.

В заключении рассмотрим ещё один вопрос, связанный с определением понятий.

Радикальное изменение содержания школьной математики привело в своё время к усилению строгости изложения курса. Отражением этого явилось

усиление внимания к строгости определений понятий, изучаемых в курсе математики. В большей степени дефиниционный формализм коснулся содержания основ математического анализа, изучаемых в школе.

Наличие большого числа строгих определений понятий в прежнем курсе алгебры и начал анализа привело к смещению в преподавании акцента от интуитивного к логическому. В таком случае в процессе обучения отрабатывались и закреплялись формальные определения понятий вместо выработки у учащихся адекватных представлений о понятиях, необходимых для правильного их использования в практической работе.

Такое изменение методической ситуации в изучении понятий привело к формализму в знаниях учащихся.

Рассмотрим пример.

Школьникам 9 классов в своё время предлагалось задание: “Покажите на рисунке, как может идти график функции вблизи точки , если

. ;

. ;

. предел в точке отсутствует, а ”.

Подавляющее большинство учащихся с заданием подобного рода не справились, хотя определение непрерывной функции в точке ими формулировалось верно.

Внутрипредметные связи на этапе обобщения и систематизации знаний, умений и навыков

В педагогической литературе существуют различные классификации видов повторения.

. По временному признаку: в начале учебного года; в течение всего учебного года; в различное время года, после изучения отдельных тем, разделов учебного материала; в конце учебного года всего курса.

. По основной дидактической цели: опорное; первично-закрепляющее; подкрепляющее (предупреждающее); корректирующее; углубляющее; обобщающе-систематизирующее.

. По частоте использования: эпизодическое; периодическое; регулярное.

. По месту в процессе усвоения:

а) повторение, предшествующее изучению нового материала, при котором вспоминаются те факты из ранее пройденного, которые необходимы для полноценного усвоения нового;

б) повторение, сопутствующее изучению нового материала; этот вид повторения своей целью восстановить в памяти ученика те знания, которые входят в содержание вновь изучаемого, а также провести сравнение, сопоставление и установление логических связей ранее пройденного и нового материала;

в) повторение, следующее за изучением нового материала и обеспечивающее закрепление полученных знаний, выработку твёрдых умений и навыков; этот вид повторения особо направлен на систематизацию и обобщение полученных знаний с целью их дальнейшего, более эффективного использования.

Обобщения в сознании учащихся при существующей структуре курса и используемой технологии обучения сами по себе, произвольно не возникают. Школьники не всегда осознают, что любому теоретическому материалу изучаемого курса присуща определённая система. Отсутствие у учащихся умения обобщать есть одна из основных причин слабого овладения ими системой знаний. Поэтому на определённом этапе обучения необходимы перекомпоновки, соподчинения, систематизации материала, выявление новых связей и отношений между элементами изученной суммы знаний.

Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания. Если в какой либо теме учебного курса слабо будут реализованы внутрипредметные связи, то обобщающее повторение призвано устранить этот недостаток; с его помощью можно установить те связи и отношения между элементами знаний, которые ранее не были раскрыты.

Не смотря на большую результативность, обобщающее повторение проводится в школе крайне редко или же проводится лишь в плане закрепления полученных знаний. Это можно объяснить многими причинами: недостатком времени; отсутствием эффективной методики его проведения; трудностями организации и проведения; отсутствием в учебниках достаточного числа обобщающих упражнений; недостаточной полнотой внутрипредметных связей в темах курса; мелкой рубрикацией глав и параграфов в учебниках и т.д.

Дадим классификацию обобщающих повторений исходя из их содержания, максимально ориентированного на учёт возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Обобщающее повторение рассматриваем на уровне: понятий, системы понятий и теорий (обобщающее повторение на уровне теорий даёт определённую трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе, поэтому материал, направленный на обобщающее повторение этого вида целесообразно рассматривать на кружковых и факультативных занятиях (что мы и сделаем в следующем параграфе настоящей главы)). Наиболее сложным является организация обобщающего повторения на уровне теорий, в связи с чем первые два уровня в большей степени приемлемы в обучении учащихся младших и средних школьных возрастов, последний же даёт больший эффект в основном лишь в старших классах.

Из выше сказанного следует, что методика организации обобщающего повторения должна меняться от класса к классу. Так, если в средних учитель сам в форме беседы или рассказа обращает внимание учащихся на необходимость всестороннего изучения каждого понятия, явления, на взаимосвязь изучаемых понятий, то в старших классах следует организовать самостоятельное открытие школьниками новых связей между изученными понятиями, проведение обобщения полученных знаний.

Обобщающее повторение на уровне понятий

Обобщающее повторение на уровне понятий позволяет привить учащимся умение выделять существенные признаки понятий, давать понятиям определения через различную совокупность существенных признаков или через другое родовое понятие, умение подводить объект под понятие. На данном уровне обобщающего повторения отрабатываются опорные знания темы в аспекте тех связей и отношений, которые были использованы при первоначальном изучении материала. Большую роль в организации этого вида повторения играют внутрипонятийные связи.

Задания, используемые на повторительно-обобщающих уроках такого типа, по своим функциональным назначениям можно разделить на следующие группы:

. способствующие воспроизведению факта, закона, алгоритма, формулировок определений и теорем;

. требующие анализа какого-либо факта, закона, ситуации;

. формирующие умения самостоятельно иллюстрировать теоретические положения примерами, в том числе и из практики;

. приводящие к синтезу знаний и их обобщению;

. развивающие мышление учащихся.

Приведём примеры заданий, которые можно использовать при обобщающем повторении на уровне понятий в различных темах школьного курса математики.

. Организуя повторение на уровне понятий по теме “Многоугольники” в курсе геометрии 8 класса, учащимся могут быть предложены такие задания.

а) Известно, что во всяком ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, верно ли обратное: четырёхугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом? (Это задание требует от учащихся анализа ситуации.) Ответ на данный вопрос отрицательный.

б) Дан четырёхугольник, у которого два противоположных угла прямые, можно ли утверждать, что такой четырёхугольник всегда будет прямоугольником? (Это задание развивает мышление школьника, требует от него анализа ситуации.) Ответ на поставленный вопрос отрицательный.

. Для проведения обобщающего повторения по теме “Производная” можно повторить определение производной, алгоритм нахождения производной функции по определению, основные правила и формулы, связанные с производной.

. Для повторения темы ”Прогрессии” целесообразно провести с учащимися математический диктант такого содержания (в скобках указаны задания для второго варианта):

а) Первый член последовательности равен 8. Запишите рекуррентную формулу для числовой последовательности, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом 4 (умноженному на число 4).

б) Как называется такая последовательность?

в) Запишите для неё формулу -го члена.

г) Найдите пятый член этой последовательности.

д) Является ли число 88 членом этой последовательности?

е) Найдите шесть первых членов этой последовательности.

ж) Дана последовательность:  Напишите формулу для нахождения суммы  первых членов, если эта последовательность является геометрической прогрессией (арифметической прогрессией).

з) Какая последовательность обладает свойством: квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов? (Каждый член, начиная со второго, равен полусумме двух соседних с ним членов?)

и) Определить  и  в геометрической прогрессии:  если известно, что её первый член положителен. (Определить  и  в геометрической прогрессии:  если известно, что её четвёртый член отрицателен.)

к) Известно, что  Найдите  где  - члены арифметической прогрессии. (Известно, что  Найдите  где  - члены арифметической прогрессии.)

. Для того чтобы обучить учащихся различать свойства и признаки понятий, полезной при организации обобщающего повторения на уровне понятий (хотя это можно сделать и значительно раньше) окажется работа по переформулированию теорем в условной форме: “Если…, то …”.

Действительно, как узнать, о свойстве или о признаке идёт речь в теореме? На этот вопрос легко ответить, если теорему сформулировать в условной форме. Если окажется, что рассматриваемое понятие находится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же понятие окажется в заключении теоремы, то она выражает признак.

Приведём примеры.

. Теорема Пифагора: “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Переформулируем теорему из категорической формы в условную. Будем иметь: “Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Так как понятие прямоугольный треугольник оказалось в условии теоремы, то теорема выражает собой свойство этого понятия.

. Теорема: “Треугольник, у которого углы при основании равны, - равнобедренный”. Сформулируем теорему в терминах “если…, то…”. Будем иметь: “Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный”. Так как понятие равнобедренный треугольник оказалось в заключении теоремы, то эта теорема выражает собой признак.

Заметим, что некоторые теоремы одновременно выражают как свойство, так и признак одного и того же понятия. Так обстоит дело в последнем случае; сформулировав теорему в виде: “Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны”, мы имели бы свойства равнобедренного треугольника.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий

Обобщающее повторение на уровне системы понятий преследует цель выработать у учащихся умения сопоставлять изученные понятия, отыскивать новые связи и отношения между ними, прослеживать развитие понятий в их иерархических зависимостях, т.е. устанавливать подчинённость вида роду в случае сопоставимых понятий. При этом происходит либо обогащение и расширение ранее изученных понятий, либо образование новых. На данном уровне обобщающего повторения определяется место и значение понятий в системе, происходит функциональное соотнесение понятий.

Если на уровне понятий обобщающее повторение организовывалось с помощью методов наблюдения и сравнения, то на уровне системы понятий на первый план выдвигается анализ взаимосвязей понятий. Это даёт возможность классифицировать понятия не только по их природе, но, что ещё более существенно, по отношениям между ними.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий предполагает такую ориентацию учащихся в учебном материале, которая бы позволяла определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе соответствующих предметных и знаковых моделей. К таким знаковым моделям относятся классификационные схемы, сводные таблицы, определённые записи, опорные конспекты. Они позволяют придать полученным при обобщающем повторении систематизированным знаниям определённую структуру.

Принцип систематичности и последовательности, используемый при написании учебников математики, закладывает в учебный материал линейные связи, а обобщающее повторение на уровне системы понятий призвано преобразовать эти связи в структурно-объёмные, которые фиксируются в виде классификационных схем и таблиц.