Курсовая работа (т): Методика реализации внутрипредметных связей в школьном курсе математики

Покажем на примерах, как может быть организовано обобщающее повторение на уровне системы понятий.

. Для обобщения темы “Четырёхугольники” курса геометрии 8 класса на уровне системы понятий полезной окажется работа по конструированию определений различных видов четырёхугольников посредством перечисления необходимого и достаточного набора существенных признаков. Например, учащимся можно предложить такое задание.

) Диагонали взаимно перпендикулярны.

) Многоугольник.

) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

) Противоположные стороны попарно равны.

) Имеет четыре и только четыре угла.

) Имеет хотя бы один прямой угол.

) Диагонали равны между собой.

) Четырёхугольник.

) Две смежные стороны равны между собой.

) Параллелограмм.

) Четыре стороны и четыре угла равны между собой.

) Прямоугольник.

) Ромб.

Школьники могут выбрать различные совокупности существенных признаков, однозначно определяющих одно и то же понятие. Запишем некоторые из них условно в таком виде:

Четырёхугольник = 2+5; Ромб = 8+3+1;

Параллелограмм = 8+4; Ромб = 10+1;

Параллелограмм = 8+3; Квадрат = 13+6;

Параллелограмм = 2+5+4; Квадрат = 10+11;

Ромб = 10+9; Квадрат = 10+9+7;

Квадрат = 2+5+4+9+6; Прямоугольник = 10+6;

Квадрат = 12+9; Прямоугольник = 8+3+6.

Сумма номеров означает такую совокупность существенных признаков, которая необходима и достаточна для однозначного определения понятия.

Для обобщающего повторения темы “Четырёхугольники” на уроне системы понятий полезным будет и такое задание.

Какие из нижеперечисленных определений являются правильными? К каждому неправильному определению приведите пример, иллюстрирующий его ошибочность.

) Прямоугольником называется параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол.

) Прямоугольником называется четырёхугольник, диагонали которого равны.

) Прямоугольником называется четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

) Прямоугольником называется четырёхугольник, имеющий хотя бы два прямых угла.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, две противоположные стороны которого равны между собой.

) Параллелограммом называется многоугольник, все противоположные стороны которого попарно равны и параллельны.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

) Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны, а диагонали равны между собой.

) Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой.

) Квадратом называется ромб, у которого диагонали равны.

) Квадратом называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны между собой.

) Квадратом называется такой многоугольник, у которого четыре стороны и четыре угла равны между собой.

Это задание помогает развить у ученика умения анализировать новые ситуации, иллюстрировать теоретические положения примерами, способствует формированию высшего типа мышления - творческого.

. Для обобщения материала, связанного с понятием треугольник. эффективным будет такое задание.

Выберите из списка то понятие, которое является

) отрезком биссектрисы угла треугольника, соединяющим вершину треугольника с точкой противоположной стороны;

) отрезком, соединяющим середины двух сторон треугольника;

) фигурой, состоящей из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх попарно соединяющих их отрезков;

) точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника;

) точкой пересечения биссектрис треугольника;

) отрезком перпендикуляра к стороне треугольника, проведённым через противоположную вершину;

) точкой, равноудалённой от вершин треугольника;

) точкой, равноудалённой от сторон треугольника;

) отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Список понятий

А - центр вписанной окружности; Б - средняя линия треугольника;

В - высота треугольника; Г - биссектриса треугольника;

Д - треугольник; Е - медиана треугольника;

Ж - центр описанной окружности; З - угол.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий формирует у учащихся целостное представление об изучаемом материале. Следует при этом отличать системные знания от систематичных. Систематичность знаний есть лишь необходимое, но не достаточное условие формирования системных знаний. Если систематичность знаний подразумевает реализацию линейных связей (эти связи представлены материалом учебника), то системность знаний - реализацию объёмных связей, получаемых путём структурирования линейных. Объёмные связи при повторном изложении материала на уроках обобщающего повторения разворачиваются в линейные, но они уже отличаются от тех, которые конструировались в системе первичного изложения материала.

.3 Реализация внутрипредметных связей на факультативных занятиях по математике

Рассмотрим на примерах, как реализуются внутрипредметные связи между различными темами школьного курса математики на факультативных занятиях.

Покажем, во-первых, как можно применить производную к таким содержательно-методическим линиям школьного курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований. Заметим, что при этом приложения производной расширяются не за счёт увеличения программного материала, а за счёт нераскрытых сторон известных учащимся фактов.

Пример 1. Доказать тождество

Для доказательства рассмотрим функцию

Доказать данное тождество - это значит показать, что при любом  значения функции  равны , т.е. следует установить, что эта функция постоянна и её значение есть число . Найдём производную функции :

Так как  для любого , то это означает, что на множестве R функция  есть постоянная. Чтобы найти эту постоянную, вычислим значение функции в любой точке, например в точке  

Итак, можно сделать вывод, что на множестве R данное равенство есть тождество.

Пример 2. Докажите, что для всех неотрицательных  справедливо неравенство:

Рассмотрим функцию  на промежутке  Найдём производную этой функции:

При любом значении  справедливо неравенство  Это значит, что на промежутке  функция  возрастает. В то же время замечаем, что функция  на промежутке  есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что на левом конце этого промежутка при  принимает своё наименьшее значение.

А так как  то для любого   т.е.

 откуда

Пример 3. При каких действительных  уравнение

имеет решение?

Найдём область определения данного уравнения, для чего решим систему:

Рассмотрим на отрезке  функцию  и найдём её производную:

Найдём точки, в которых эта производная на отрезке  равна нулю,

 Далее

 и  а значит,  - единственная критическая точка.

Найдём значение функции  в точке  и на концах отрезка :

Учитывая, что функция  непрерывна на отрезке , её наибольшее значение будет число , а наименьшее - число  Так как функция  непрерывна, то область её значений целиком лежит между наименьшим и наибольшим значениями и представляет отрезок  Следовательно, , стоящее в правой части исходного уравнения, должно принимать значения из этого промежутка. Итак, исходное уравнение имеет решение при

В курсе алгебры и начал анализа учащиеся 10 класса начинают изучение тригонометрии. В связи с этим, на факультативных занятиях, целесообразно расширить круг рассматриваемых задач по некоторым темам курса (мы ограничимся рассмотрением уравнений и систем уравнений), поскольку достаточно часто на вступительных экзаменах по математике во многие российские вузы предлагаются задачи по курсу “Тригонометрия”, предполагающие при их решении использование нескольких теорий. Безусловно, их решение базируется на том теоретическом материале, который изучается в школе. Однако, необходимость применять эти знания в новых условиях зачастую ставит учащихся в тупик. Поэтому применение внутрипредметных связей при решении подобных задач является весьма эффективным средством преодоления обозначенных проблем.

Рассмотрим примеры.

Пример 4. Решить уравнение

Трудность решения этой задачи заключается в том, что школьники достаточно хорошо знакомы с методом решения однородных (сводящихся к однородным) уравнений второй степени. Но не смотря на это далеко не все учащиеся способны применить этот же метод к решению поставленной задачи, поскольку это уравнение четвёртой, а не второй степени (в этом заключается новизна той ситуации, в которую учитель ставит их этой задачей). На самом же деле решение этой задачи проводится по той же схеме, что и для уравнений второй степени.

Прежде всего (поскольку уравнение неоднородное), выясним, не являются ли значения, при которых  решениями данного уравнения. Очевидно, что при  уравнение обращается в верное равенство: 1=1. Следовательно, эти значения - решения уравнения.

Пусть далее  Перепишем исходное уравнение в виде

а затем разделим обе части уравнения на  Получим:

или

Используя далее тождество приходим к уравнению

Откуда

или,

Из первого уравнения совокупности находим  Второе уравнение совокупности, очевидно, не имеет решений.

Пример 5. Решить уравнение

На первый взгляд это уравнение может показаться вполне безобидным. Однако, как будет видно из приведённого решения, это далеко не так (придётся вспомнить ранее изученный материал по теме “Функция  и её свойства”, а также методы решения уравнений в целых числах).

Из уравнения следует, что  (это непосредственно следует из самого уравнения и области определения функции , которую многие школьники просто забывают). Тогда уравнение можно переписать в виде

Произведя подстановку  приходим к уравнению

Полученное уравнение является стандартной задачей школьного курса математики и его решение не составит труда. Получим

На следующем этапе решения задачи многие учащиеся могут допустить следующую ошибку: забыв о введённом условии они просто приравнивают найденное значение к выражению, заменённому нами на  Здесь учителю следует обратить особое внимание учащихся на исследование полученных решений.