Документ: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А, страницы 6-10

между положительным направлением действительной оси и

радиус-вектором		r	называется				аргументом				этого
комплексного числа, и обозначается Arg z								или		. Аргумент
комплексного	числа		z	0	не	определен.				Аргумент
комплексного	числа		Arg z		- величина				многозначная,
определяется с точностью до слагаемого 2k									(k	1,0,1,2,3...) :
			Arg z =arg z + 2k				,
где arg z -главное значение аргумента, заключенное в
промежутке	, .
Проекции		радиус-вектора				r ,			изображающего
комплексное число		z	x	ί y ,	равны	x	r cos			и y	r sin
(рис.1). Следовательно, комплексное число								z	можно записать

в виде, называемом тригонометрической формой записи

комплексного числа

z r cos	ir sin	r(cos	i sin ) .
y		M
y		M
y
	r
	φ
O		x	x
	Рис.1.

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой

			r		z	x 2 y 2 .
			r		z	x 2 y 2 .

Например,	i	02 12		1.		Аргумент	определяется из
Например,	i	02 12		1.		Аргумент	определяется из
формул

6

cosrx , sinry , tgxy .

Так как	< argz < , то из соотношения	tg	y

			x
			x
следует, что

arctg xy , для I, IV четвертей,

y

argz arctg x , для II четверти, arctg xy , для III четверти.

Если точка z расположена				на		действительной или
мнимой оси, то	argz находится непосредственно. Например,
для z 5 argz	0 , а для z	3 ί	argz				.
						2
Два комплексных числа		z1	и	z2	равны тогда и только

тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2кπ:

		z1		z2		,	1		2	2k	k		0, 1, 2,... .

	Пример 1.1. Записать комплексное число																	z	1		3 ί в
тригонометрическом виде.

								z	r	1 2					2
	Решение:							z	r	1 2				3	2		2,

argz		arctg					3						2			. Поэтому

							1			3			3
									2		2	.
z	1		3 ί= 2 cos						2	i sin	2
z	1		3 ί= 2 cos						3	i sin	3
									3		3
	Использование									формулы				Эйлера ei				= cos		i sin
позволяет					перейти				от тригонометрической формы											записи

7

комплексного числа к показательной или экспоненциальной форме:

				z	r ei ,
где r =	z	-	модуль	комплексного числа, а угол
Argz		argz	2k ( k	0, 1,	2... ). В силу формулы Эйлера

функция ei является периодической с основным периодом

2 .

Пример 1.2. Записать комплексное число z 1 ί в показательном виде.

									1
	Решение:				1 2	1 2
			z	r				2, argz arctg
			z	r				2, argz arctg	1
	3								1
	3
=		. Поэтому z			1	ί=	2 ei .
=		. Поэтому z			1	ί=	2 ei .
4	4

1.3. Действия над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определены действия, аналогичные действиям, определенным на множестве действительных чисел.

Суммой двух комплексных чисел z1 x1 iy1 и

z2 x2 iy2

называется число, определяемое равенством

z1 z2

x1 x2 i y1 y2 ,

т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются. Сложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами:

z1	z2	z2	z1,
z1 z2	z3	z1	z2 z3 .

Из вышеприведенного определения следует, что сложение комплексных чисел производится подобно сложению векторов (рис.2)

8

y

z1 z2

z2

z1

O

x

Рис.2

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных

чисел z1 x1 iy1 и	z2 x2	iy2	называется число z1 z2 ,
определяемое равенством
z1	z2 = x1	x2	i y1 y2 .

Геометрически комплексные числа вычитаются как векторы, т.е. при вычитании комплексных чисел их действительные и мнимые части вычитаются.

Пример 1.3. Вычислить

z

z1

z2

z3 , если

z1

3 4i ,

z2

2 6i , z3

1 5i .

Решение:

z 3

2

1

4

6

5 i = 4

3i .

Произведением

двух комплексных

чисел

z1

x1

iy1 и

z2

x2 iy2

называется

комплексное

число,

определяемое

равенством

z1z2

x1

iy1 x2

iy2

x1x2

y1 y2

i x1 y2

x2 y1 .

Произведение комплексных чисел в алгебраическом представлении производится по обычным правилам перемножения алгебраических многочленов с учетом того, что

i 2

1, i3 i 2i

i и т.д.

Пример.1.4. Вычислить произведение 4 7i 3 5i . Решение:

9

4 7i 3	5i 1`2 20i 21i	35i 2	12	35	i	47	i .
Следует	отметить, что					x2	y2
Следует	отметить, что	z z	x	iy x	iy	x2	y2

является действительным числом, равным квадрату модуля

комплексного числа.
Умножение	комплексных	чисел	подчиняется

переместительному, сочетательному и распределительному законам

		z1z2		z2 z1,
	z1 z2 z3			z1 z2 z3 ,
	z1 z2	z3		z1 z2	z1 z3 .
Если комплексные числа заданы в тригонометрической
форме:
z1 r1 cos 1		i sin	1	и z2	r2 cos		2 isin 2		,
то произведение комплексных чисел равно
z1 z2	r1 cos 1		i sin 1 r2		cos	2	isin	2
r1r2 cos 1 cos 2	sin	1 sin	2	i sin	1 cos	2	cos	1 sin	2
r1r2	cos	1	2	i sin	1	2 .

Отсюда вытекает правило, что при перемножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются.

При перемножении комплексных чисел в показательной форме вышеуказанное правило сохраняется, т.е.

z z

2

r r ei

1 2 .

1

1 2

Пример 1.5.

Найти

произведение

комплексных чисел

z1 1 i

и

i ,

предварительно

перейдя к

z2

3

тригонометрическому представлению.

Решение:

, z2

z1

1 i

2

cos

i sin

3 i

4

2 cos

i sin

.

6

10

Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Смотрите также: