Документ: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А, страницы 16-20

				Задачи для самостоятельного решения
Произвести действия
1.	2			i	2		i		(Ответ:					4			i		3	).
1.									(Ответ:								i			).
		4				3i							5						5
2.					1		i				(Ответ:						1				i	1	).
																	4					4

	3				i 1				3i
3.	1		i 6 (Ответ:										8i ).
			(Ответ: cos								k			i sin				k
4.	6 1										k							k				k 0,1,2,3,4,5				).
4.	6 1																					k 0,1,2,3,4,5				).
								3											3

										i,		i	3		).
5.	3 i	(Ответ:										i	3
5.	3 i	(Ответ:
													2
Представить в тригонометрической форме комплексные
числа

1.	2	2 3i (Ответ:											4 cos							i sin					).
1.	2	2 3i (Ответ:											4 cos			3				i sin				3	).

2.	2	3				2i	(Ответ:						4 cos										i sin			).
2.	2	3				2i	(Ответ:						4 cos										i sin			).
																			6			6

16

2.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1.Первообразная. Неопределѐнный интеграл

Интегральное исчисление решает задачу нахождения функции F x по известной производной этой функции

F xf x .

Функция F x

называется первообразной для функции

f x

на

интервале

a,b , если для

любого x a,b

выполняется равенство F (x)

f (x) или dF x

f

x dx .

x3

Например,

функция F x

является первообразной

3

для функции f x

x2

на всей числовой прямой,

так как при

любом значении аргумента

x3

F

x

x2

f

x .

3

Можно заметить, что для функции

f

x

x2

существует

и

ряд

других

первообразных

F x

x3

C ,

где

3

C

произвольная

постоянная,

поскольку

x3

C

x2

f x

.

Это

указывает

на

неоднозначность

3

отыскания первообразной F x

по исходной функции f

x .

Терема 1.

Если

F x является первообразной функции

f x

на

некотором

промежутке a,b ,

то

любая

другая

первообразная для функции

f

x на этом промежутке может

17

быть

представлена в виде

F x

C ,

где

C

произвольная

постоянная.

Доказательство: Поскольку F

x

f x

, то

F x

C

F

x

f

x .

Является

ли формула

F x

C

исчерпывающей

при

описании

множества первообразных

для

f x

или могут

существовать

какие-то

другие

первообразные,

не

содержащиеся в этой формуле?

Теорема 2: Если две функции F1

x

и F2

x являются

первообразными для f x

на интервале

a,b , то их разность

постоянна для любого x

(a,b) .

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию

x

F1 x

F2 x . Поскольку

x

F1 x F2 x

f x f x 0

для любого x

(a,b) , то отсюда следует, что

x

F1

x

F2

x

C ,

где C

const .

Важным оказывается вывод о том, что, если производные двух функций тождественно равны, то сами функции могут отличаться лишь на постоянное слагаемое.

Множество всех первообразных функций F x C для

исходной	функции		f x	называется	неопределенным
интегралом	от	функции		f x и обозначается		символом
f x dx . Здесь		f x	называется подынтегральной функцией,
f x dx подынтегральным				выражением,	x	переменной

интегрирования, знаком неопределенного интеграла.

Таким образом, по определению

f x dx F x C .

18

Неопределенный интеграл обозначает совокупность всех первообразных для функции f x , однако иногда он может обозначать какую-то из первообразных.

Операция нахождения неопределенного интеграла от

функции f	x	называется	интегрированием этой					функции.
Геометрически		неопределенный			интеграл		соответствует
множеству	кривых y		F x	C ,	каждая		из	которых
называется интегральной кривой.
		y
					y	F x	C3
					y	F x	C2
	O				x
	O				y	F x	C1
					y	F x	C1
					y	F x
		Рис. 4
Функция,		имеющая		первообразную,			называется

интегрируемой. Имеет место теорема, которая утверждает, что для всякой непрерывной на интервале a,b функции

существует первообразная на (a, b), т.е. непрерывная функция интегрируема.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную

дифференцированию.	Правильность		выполнения
интегрирования	достаточно	легко	проверить,

продифференцировав результат, и получить при этом подынтегральную функцию. Например,

x5 dx

x6

C

x5 ,

C,

так как

ctgxdx ln

sin x

C,

6

8x

1

8x

так как

ln

sin x

C

ctgx ,

e

dx

e

C, так как

8

19

1	e	8x	C	e	8x	.
8

2.2. Основные свойства неопределѐнного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла вытекают непосредственно из его определения.

1. Производная от неопределѐнного интеграла равна подынтегральной функции:

	f	x dx	f x .
Действительно,	f	x dx	F x C	F x f x .
2. Дифференциал от неопределѐнного интеграла равен
подынтегральному выражению:
d	f	x dx	f x dx .

Действительно,

d f x dx d F x C dF x F x dx f x dx .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме данной функции F x и произвольной постоянной:

		dF x		F x		C .
Действительно:		dF x		F	x dx		f	x dx	F x	C .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределѐнного интеграла:
		af	x dx		a	f x dx .
Действительно:
af x dx	af x	и a	f	x dx		a	f	x dx	af	x .

Если производные двух величин одинаковы, то сами величины могут отличаться только на постоянную. Поскольку неопределенные интегралы определены с точностью до

20

Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Смотрите также: