Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример.4.11. Найти работу по выкачиванию бассейна с водой, если последний представляет собой куб с ребром a .

Решение:

Используем метод дифференциалов. Введем систему координат как указано на рисунке 19.

O

a y

x dx

a x

 

 

 

 

 

Рис. 19.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Работа A по выкачиванию слоя жидкости толщиной x

0

x a

является функцией x . Найдем дифференциал dA

как главную часть приращения при изменении x

на величину

x

dx . Для выкачивания «элементарного слоя» толщиной dx

с глубины x требуется затратить

 

работу

 

dA

x dp .

Здесь

dp вес «элементарного слоя»,

равный

 

g dv ,

где

g

ускорение

свободного

падения,

 

 

удельный

вес

воды,

dv

a2 dx

 

объем

«элементарного слоя».

 

Поскольку

dA

xg a2 dx ,

то,

интегрируя дифференциал в пределах от 0

до a , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

x 2

 

 

a

 

 

 

a 2

 

 

ga4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

ga2

xdx ga2

 

ga

2

 

 

.

 

 

2

 

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101

Вопросы для самопроверки

1.Опишите метод интегральных сумм и метод дифференциала.

2.Напишите формулу для вычисления площади плоской фигуры в декартовых координатах.

3.Получите формулу площади плоской фигуры, ограниченной линией, заданной параметрическим образом.

4.Площади фигур какого типа вычисляются в полярных координатах?

5.Используя метод интегральных сумм, выведите формулу длины дуги в декартовых координатах.

6.Как выводится формула длины дуги в полярных координатах на основе формулы длины дуги параметрически задаваемой кривой?

7.Как находится объем тела по известной зависимости площади поперечного сечения?

8.Выведите формулу объема тела вращения.

9.Используя метод дифференциалов, получите формулу площади поверхности вращения.

10.Как вычисляется работа по перемещению тела переменной силой?

Задачи для самостоятельного решения

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1.

y2

9x,

y

3x (Ответ:

 

1

).

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y

x2 ,

y

2

x2 (Ответ:

8

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3.

xy

4,

x

4,

y

4, x

0,

y

0 (Ответ: 4 ln 4e ).

4.

y

1

x2 ,

y

2

x2 , x

 

 

0, x

1 (Ответ:

5

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

102

5.

x

t

sin t,

 

0 t

2

 

, осью Ox (Ответ: 3

).

y

1

 

cost,

 

 

6.

x

cos3 t,

0

t

2

 

(Ответ:

3

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

sin3 t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

1

 

 

cos

0

 

2

 

(Ответ:

3

 

 

).

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти длину дуги, заданной уравнением:

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

335

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 (Ответ:

).

 

 

 

 

 

 

8.

y

x 2 , если 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

y

lncos x, если 0

x

 

 

(Ответ:

ln 3

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x

 

 

et sin t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

0

 

t

 

 

(Ответ:

2

 

e 2 1

).

 

 

et cost,

 

 

 

 

 

y

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

x

 

 

t

sin t,

0

 

t 2

 

 

(Ответ:

8 ).

 

 

 

 

y

 

1 cost,

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

1

 

3

 

 

 

4

(Ответ: ln

3

 

 

5

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

2

 

12

 

 

 

 

Найти

объем

тела

вращения

вокруг

оси

Ox

фигуры,

ограниченной линиями:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

13.

y

sin x,

y

 

0 , если 0

 

x

(Ответ:

 

 

).

 

 

 

 

2

 

 

 

14.

y 2

 

4x,

x

4 (Ответ:

32

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 , y

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

y

 

 

 

x (Ответ:

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти площадь поверхности, образованой вращением

вокруг оси Ox дуги кривой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

y

sin x , если 0

x

 

(Ответ: 2

2

 

 

ln 1

2 ).

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34 17

 

2

 

 

 

 

17.

 

 

, если 2

x 2 (Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

).

 

 

 

3

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103

 

 

e x

e

x

 

e2

4 e 2 ).

18.

y

 

 

 

, если 0 x 1 (Ответ:

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

104

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное пособие содержит теоретические сведения о комплексных числах, а также достаточное количество примеров на эту тему. Далее излагается теория неопределенного интеграла, подробно проиллюстрированая примерами. Теория определенного интеграла и его приложений также содержит большое число примеров.

Рассмотренный раздел высшей матаматики является базовым и входит в обязательный перечень тем, необходимый как для дальнейшего изучения высшей матетматики, так и для успешного освоения специальных дисциплин по специальности «Автоматизированное оборудование».

105

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Смотрите также:

4853