Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Деление комплексных чисел определяется как операция,

обратная операции умножения. Частным от деления двух комплексных чисел z1 и z2 0 называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z2 , дает число z1 , т.е.

Практически деление комплексных чисел в алгебраическом представлении производится посредством умножения числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное знаменателю:

тригонометрической форме, модули комплексных чисел делятся, а аргументы вычитаются. По определению:

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

11

В показательном представлении операции с модулями и аргументами комплексных чисел при делении совпадают с таковыми при делении в тригонометрическом виде:

Возведение комплексного числа в целую положительную степень является распространением правила умножения комплексных чисел на случай, когда все n множителей одинаковы. В алгебраическом представлении возведение комплексного числа в n -ую степень производится по алгебраическим правилам перемножения многочленов с учетом того, что

В тригонометрическом представлении модуль n -ой степени комплексного числа равен n - ой степени модуля исходного комплексного числа, а аргумент n -ой степени комплексного числа получается посредством умножения на n аргумента исходного комплексного числа. В итоге получается

формула Муавра:

Произведя по указанным правилам возведение в двенадцатую степень комплексного числа, имеем

12

Извлечение корня n - степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое

Согласно определению два комплексных числа равны, если равны их модули, а аргументы равны или отличаются на

комплексного числа удовлетворяю n комплексных чисел, описываемых формулой

отличающиеся от одного из указанных значений на величину, кратную 2π и не дающие новых значений корня.

Таким образом, комплексное число z 0 имеет ровно n корней степени n, получаемых из вышеприведенной формулы. Следует отметить, что все значения корня лежат на

13

окружности радиуса ρ= nr и делят окружность на n равных частей.

Вопросы для самопроверки

14

1.Дайте определение комплексного числа.

2.Где на комплексной плоскости изображаются мнимые

числа?

3.Что собой представляет алгебраическая форма записи комплексного числа?

4.Какие комплексные числа называются равными?

5.Относительно какой оси комплексно-сопряженные числа располагаются симметричным образом?

6.Как называется длина радиус-вектора, соответствующего комплексному числу?

7.Что является аргументом комплексного числа?

8.Где находится главное значение аргумента комплексного числа?

9.Как вычисляется аргумент комплексного числа, представленного в алгебраическом виде, расположенного в третьей четверти?

10.Как производится сложение комплексных чисел в алгебраическом представлении?

11.Какими свойствами обладает операция сложения комплексных чисел?

12.Что происходит с аргументами и модулями комплексных чисел при сложении?

13.Дайте определение натуральной степени комплексного числа.

14.Как определяется модуль корня n степени комплексного числа?

15.Почему аргумент корня n степени комплексного числа является многозначным?

15