Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

равен площади кругового сектора OCA

, т.е. dS

1

2 d .

2

Интегрируя равенство

dS

1

2 d

в пределах от

2

до

,

получим

искомую

формулу для

площади

криволинейного сектора:

S

1

2 d

1

2 d .

2

2

Пример.4.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линией

a

cos2 .

Решение: Найдем пределы интегрирования из условия

cos2

0.

Тогда

2k

2

2k

или

2

2

k

k .

Для

фигуры,

называемой

лемнискатой

4

4

Бернули

(рис.14),

разрешенными

оказываются

отрезки

,

при k 0 и

3

,

5

при

k

1 .

4

4

4

4

3

a

cos2

4

4

O

ρ

4

4

2

4

2

1

1

2 d

1

a2 cos2 d

a

a

S

sin 2

.

Отсюда

4

2 0

2

0

4

0

4

S

a2 .

формулы длины дуги. Разобьем отрезок a, b

на n

частей

точками xi i 0,1,..., n

. Пусть на кривой

этим

точкам

соответствуют точки M i

xi , f xi . Рассмотрим i

тый участок

разбиения (рис.15).

y f x

M i

L

yi

i

M i 1

L

x

2

y

i

2 .

i

i

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

yi

f

ci

xi

, где ci

является некоторой внутренней точкой

отрезка

xi 1 , xi

. Тогда

L

x 2

f c x 2

1 f c

2

x .

i

i

i

i

i

i

Длина всей ломаной линии равна

n

n

2

L

L

1

f

c

i

x

.

n

i

i

i

1

i

1

Длина дуги AB по определению равна

n

n

2

.

L

lim

L

lim

1

f

c

x

i

n

i

n

i

Li 0 i

1

0 i

1

max

max

Li

Поскольку

по

условию

f

x

непрерывна,

то

n

интегральная

сумма

1

f

ci

2 xi

составлена

для

i 1

непрерывной функции, а значит, имеет предел при

xi

0

( xi

0 при

Li

0 )

b

2 dx .

L

1

f

x

a

Пусть уравнение кривой АВ задано в параметрической

форме

x

x t ,

t

,

y

y t ,

где

x

x y

и

y

y t

являются непрерывными функциями

вместе со своими производными,

x

a ,

x

b ,

то длина

b

y

t

1 f x 2 dx . Тогда dx x t dt, f x

, а

x

t

a

b

y t

2

L

1

f x 2 dx

1

x t dt

x t 2

y t 2 dt.

a

x t

Пример 4.5. Вычислить длину линии, заданной

параметрически:

x

cos3 t,

0

t

.

y

sin3 t,

2

Решение: Найдем производные x (t)

3cos2 t

sint

и

y (t)

3sin2 t

cost . Тогда

2

2

L

9cos4 t sin2 t

9sin4 t cos2 tdt

9cos2 t sin2 t cos2 t sin2 t

0

0

2 cost sintdt

3

2 sin 2tdt

3

3

3

3

cos2t

2

cos

cos0

.

0

2 0

4

0

4

2

Пусть кривая задана в полярных координатах

непрерывной функцией

,

.

В уравнениях

связи

декартовых

и

полярных

координат

x

cos

и

y

sin

формально можно принять параметром

полярный

угол

,

тогда кривую оказывается возможным задать

параметрически

x

cos ,

y

sin .

Вычисляя

производные

x

cos

sin ,

y

sin

cos

, имеем

x

t

2

y t 2

cos

sin

2

sin

cos

2

L

2

2 d .

Пример 4.6. Вычислить длину кардиоиды

1 sin .

L

2

2

2

cos 2 d

1 sin

1

2sin

sin2

cos2 d

2

2

2

2

2

2

2

2sin

d

2

1

sin

d

2

1

cos

d

2

2

2

2

t

,

0

2

1

cos t dt

2

1

cos t dt

2

dt

d .

0

2

t

t

t

t

t

2

2 cos

dt

2

cos

dt

4 cos

d

4sin

4, L 8.

2

2

2

2

2

0

0

0

0