Материал: Начала математического анализа. Часть 2. Горбунов В.В., Соколова О.А

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4.5. Вычисление объема тела

Пусть требуется найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которое проектируется на отрезок

a, b	оси	Ox , причем	известна		зависимость площади
поперечного		сечения	тела	S	S x	плоскостью,
перпендикулярной оси Ox . Предполагается, что S							S x
является непрерывной функцией x				на отрезке		a, b .
Используем метод дифференциала. Через произвольную
точку	x проведем плоскость ,			перпендикулярную оси			Ox .
Площадь поперечного сечения равна S x . Через точку x							dx

проведѐм другую плоскость, параллельную первой. Тогда из объѐма тела будет выделен «элементарный слой» dV , соответствующий приращению объема. Объем «элементарного слоя» приближенно может быть посчитан как объем цилиндра с основанием S x и высотой dx : dV S(x)dx.

Искомую величину объема находим интегрированием dV в пределах от a до b

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной координатной плоскости Oyz и пересекающей ось Ox в точке

x , получим в сечении эллипс

		y 2				z 2			1.
				2				2	1.
				2				2
3	1		x2		1		x2
3	1	4			1	4
		4				4

Площадь эллипса равна

		S x		3 1	x 2		.
		S x		3 1	4		.
					4
Используя зависимость S x , вычислим объем
	2		x 2					x3	2
	2
V	3 1			dx 3 x						8 .
V	3 1		4	dx 3 x		12			2	8 .
	2
Вычисление	объема			тела		вращения				(рис.17),
образованного вращением				вокруг оси				Ox	криволинейной

трапеции, представляет собой частный случай предыдущей задачи. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной кривой y f x , прямыми линиями x a , x b и ось Ox . Любое сечение данного тела плоскостью,

перпендикулярной оси	Ox , есть круг радиуса R y f (x) .
Поэтому площадь поперечного сечения равна
S(x) y 2	f (x) 2 и dV	f (x) 2 dx .
Объем тела вращения равен

V f (x) 2 dx .

	a
y	y f x

Рис.17.

Пример.4.8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями

x3 ,

0 .

Решение:

Объѐм тела вращения равен

x6 dx

4.6. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть

кривая

является

графиком

функции

f (x)

0 ,

заданной на отрезке a, b

и непрерывной вместе

ее

производной

y x .

Найдѐм

площадь

поверхности

вращения,

образованной вращением кривой AB

вокруг оси

Ox .

Для

вывода

формулы площади

поверхности

вращения

используем метод дифференциала. Через произвольную

внутреннюю точку x				a,b	проведем перпендикулярную оси
Ox плоскость .
Плоскость			пересекает			поверхность по		окружности
радиуса	y f	x	. Величина		S	части поверхности вращения,
расположенная			левее	плоскости			, является функцией x .
Пусть	через	точку		x dx	проведена другая			плоскость,

параллельная плоскости . Тогда две параллельные плоскости выделят бесконечно узкую полосу поверхности (рис. 18.), площадь которой dS можно вычислить по формуле площади боковой поверхности усечѐнного конуса, образующая которой

равна dl , а радиусы оснований равны y			и y	dy :
dS	y y dy	dl 2 ydl		dydl .
Пренебрегая	слагаемым	dydl	как	величиной более
высокого порядка малости по сравнению с dl , получаем
	dS	2 ydl .

Поскольку dl 1 y x2 dx , то

		b
		b
	S 2	y 1 y x 2 dx.
		a
y	y	f x
y

O a

Рис.18.

Пример.4.9. Найти площадь поверхности шара радиуса

a .

Решение:

Будем считать, что поверхность получена в результате

вращения полуокружности y

a2 x2 вокруг оси Ox .

S 2

a2 x2

dx 2 a dx 2 a x

4 a2

2 a

Если поверхность вращения вокруг оси Ox образована

кривой,	заданной параметрическими		уравнениями x x t ,
y y t	, t1 t t2 , то площадь поверхности вращения равна
	t2
		x t 2	y t 2 dt.
	S 2 y t
	t1

Пример.4.10. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды вокруг оси Ox .

Решение:

Первая арка циклоиды описывается уравнениями x t sin t,

y 1 cost,

где 0 t 2 . Тогда площадь поверхности вращения равна

S 2

	2		2
1 cost	t sin t	1 cost	dt

	2
2	2		1		cost										1					cost						2		sin t				2			dt
2			1		cost										1					cost						2		sin t				2			dt
	0
	2					t																														2				t
				2																					2			2											2									dt =
2		2 sin		2					1						2 cost							cos			2	t	sin	2	t dt					4				sin	2			2		2 cost
2		2 sin			2				1						2 cost							cos				t	sin		t dt					4				sin		2		2		2 cost
	0				2																															0				2
	0																																			0
			2																								2														2
			2				2			t								2			t						2			2	t						t				2					3 t
4	2		sin				2			t					2 sin			2			t		dt			8	sin			2	t		sin				t	dt		8 sin						3 t		dt
4	2		sin						2						2 sin						2		dt			8	sin				2		sin			2		dt		8 sin							2	dt
			0						2												2						0				2					2					0						2
			0																								0														0
	2												t						t								2										t								t
8			1		cos						2		t			sin			t					dt		8			1		cos				2		t	d					2 cos		t
8	0		1		cos							2				sin			2					dt		8	0		1		cos					2		d					2 cos		2
												2							2																	2									2

															3			t
															3			t
								t						cos									2												1						1				64
	16		cos					t						cos			2						2				16				1				1			1			1				64			.
	16		cos				2								3								0				16				1				3			1			3					3		.

															4.7. Работа переменной силы
		Работа по перемещению материальной точки																																											M вдоль
оси		Ox			из						точки										x			a		до			точки							x b						под		действием
переменной силы F																					F x , направленной по оси Ox , равна
																											b
																										A			F x dx.

100

Источник: https://studfile.net/preview/16563680/

Пример.4.7. Найти объем эллипсоида

Пример.4.7. Найти объем эллипсоида

4853
Оценка устойчивости наземных телекоммуникационных сетей связи