Материал: ОиММПР. Практические работы 2019
Среднее время пребывания заявки в системе: |
|
||||
WS = |
LS |
|
: |
(6.11) |
|
|
|
|
|||
|
l (1 PN) |
|
|||
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди: |
|
||||
1 |
|
|
(6.12) |
||
Wq = WS |
|
: |
|
||
m |
|
||||
Среднее число заявок в очереди (длина очереди): |
|
||||
Lq = l (1 PN)Wq: |
(6.13) |
||||
Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограничено и равно 3(N 1 = 3). Если все стоянки заняты, т.е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на стоянку, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывший на диагностику, имеет интенсивность l = 0;85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля в среднем равно 1,05 часа.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение.
Параметр потока обслуживания автомобилей:
m = |
1 |
= |
1 |
|
= 0;952: |
|||
|
|
|
|
|
||||
tобсл |
1;05 |
|
||||||
Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как от- |
||||||||
ношение интенсивности l и m: |
|
|
|
|
|
|||
r = |
l |
= |
0;85 |
|
= 0;893: |
|||
|
|
|||||||
|
|
m |
0;952 |
|
|
|||
Определим и вычислим финальные вероятности системы:
P = |
1 r |
= |
1 0;893 |
; ; |
|
1 rN+1 |
|
||||
0 |
1 0;8935 |
0 248 |
|||
P1 = r P0 |
= |
0;893 0;248 0;221; |
|||
P2 = r2 P0 |
= |
0;8932 0;248 0;198; |
|||
P3 = r3 P0 |
= |
0;8933 0;248 0;177; |
|||
56
P4 = r4 P0 = 0;8934 0;248 0;158:
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
POT K = P4 0;158:
Относительная пропускная способность поста диагностики:
q = 1 POT K = 1 0;158 = 0;842:
Абсолютная пропускная способность поста диагностики:
A = l q = 0;85 0;842 = 0;716 автомобиля в час:
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и ожидающих в очереди, рассчитываем по формуле (6.10):
|
|
|
N |
|
= 0 P0 + 1 P1 + 2 P2 + 3 P3 + 4 P4 = |
||||||||
L |
S |
= |
å |
n P |
|||||||||
|
|
n |
= 1 |
|
0;221 + 2 |
|
0;198 + 3 |
|
0;177 + 4 |
|
0;158 = 1;77: |
||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Среднее время пребывания автомобиля в системе рассчитываем по формуле (6.11):
WS = |
1;77 |
|
2;473 часа: |
|
; |
; |
|
||
|
0 85 |
0 842 |
|
|
Среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди на обслуживание рассчитываем по формуле (6.12):
Wq = 2;473 1;05 = 1;423 часа:
Среднее число автомобилей в очереди:
Lq = 0;85 0;842 1;423 = 1;02:
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, т.к. пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 16% случаев (POT K = 0;158).
Одноканальное СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди
Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t ! ¥ для любого n = 0; 1; 2; :::; имеет вид:
l P0 + m P1 = 0; n = 0; |
(6.14) |
l Pn 1 + m Pn+1 (l + m) Pn = 0; n > 0: |
|
57
Решение данной системы уравнений имеет вид:
Pn = (1 r)rn; n = 0; 1; 2; :::; |
(6.15) |
l
где r = m < 1.
Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди:
Среднее число находящихся в системе заявок на обслуживание:
N |
|
|
|
r |
|
|
|||
LS = å n Pn = |
|
: |
(6.16) |
||||||
|
r |
||||||||
n=0 |
1 |
|
|
||||||
Средняя продолжительность пребывания заявки в системе: |
|
||||||||
LS |
|
|
|
|
|
|
(6.17) |
||
WS = |
|
|
: |
|
|
|
|
||
l |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Среднее число заявок в очереди на обслуживании: |
|
||||||||
Lq = LS r = |
|
|
r2 |
|
(6.18) |
||||
|
|
: |
|
||||||
1 r |
|
||||||||
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди: |
|
||||||||
Lq |
|
|
|
|
|
|
(6.19) |
||
Wq = |
|
|
: |
|
|
|
|
||
l |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Рассмотрим предыдущий пример, где речь шла о функционировании поста автомобильной диагностики. Пусть для этой задачи рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки автомобилей прибывших на обслуживание, а значит, длина очереди не ограничена.
Требуется определить значения вероятностных характеристик.
Решение.
Параметр потока обслуживания m и приведенная интенсивность потока автомобилей r определены в предыдущем примере:
m = 0;952; r = 0;893.
Вычисляем по формуле (6.15) предельные вероятности системы:
P0 = 1 0;893 = 0;107;
58
P1 = (1 0;893) 0;893 = 0;096;
P2 = (1 0;893) 0;8932 = 0;085;
P3 = (1 0;893) 0;8933 = 0;076;
P4 = (1 0;893) 0;8934 = 0;068;
P5 = (1 0;893) 0;8935 = 0;061
и так далее.
Следует отметить, что P0 определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере эта доля составляет 10,7%, так как значение P0 = 0;107.
Среднее число автомобилей, находящихся в системе:
LS = |
|
0;893 |
= 8;346 единиц: |
|
|
||
1 |
0;893 |
||
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
8;346
WS = 0;85 = 9;817 часов:
Среднее число автомобилей в очереди на обслуживании:
Lq = LS r = 8;346 0;893 = 7;453:
Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди:
7;453
Wq = 0;85 = 8;766 часов:
6.2.2. Многоканальные модели систем массового обслуживания
Многоканальная СМО с отказами
Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 6.3.
l |
|
l |
l |
. . . |
l |
S0 |
S1 |
S2 |
|
SN |
|
3m |
. . . |
||||
m |
|
2m |
|
Nm |
Рис. 6.3. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
Состояния данной СМО имеет следующую интерпретацию:
S0 — все каналы свободны,
59
S1 — один канал занят, остальные свободны,
S2 — два канала заняты, остальные свободны,
. . .
SN — заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы будет
иметь следующий вид: |
|
|
|
|
|||||
8 |
|
dP |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= l P0 + m P1; |
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|||||
> |
|
dP |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
= l Pk 1 (l + k m)Pk + m (k + 1)Pk+1; 1 k (n 1); |
||||||
> |
::: |
||||||||
> |
::: |
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
dPn |
= l Pn 1 |
m n Pn: |
|
|
|||
> |
::: |
|
|
||||||
< |
::: |
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
||||
>
>
>
>
:
Стационарное решение системы (6.20) имеет вид:
8 |
|
rk |
|
|
|
|
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
= k! P0; k = 0; n; |
|||||
> Pk = nk!rk |
|||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
rk |
||||
> |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
k=0 k! |
|
|
|
|
|
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
P0 = n 1rk ; k = 0; n; |
||||||||||
> |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
k=0 |
k! |
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>
>
>
:
l
где r = m .
(6.20)
(6.21)
Формулы для вычисления вероятностей Pk называются формулами Эрланга.
Вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме
Вероятность отказа:
rn |
(6.22) |
POT K = Pn = n! P0: |
Относительная пропускная способность системы — формула (6.3). Абсолютная пропускная способность — формула (6.4).
60