Материал: ОиММПР. Практические работы 2019
Среднее число каналов, занятых обслуживанием:
n |
|
|
¯ |
POT K) ; |
(6.23) |
k = å k Pk = r (1 |
k=1
где величина ¯ характеризует степень загрузки СМО. k
Пример. Пусть n — канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность l = 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания 1,8 час.
Требуется вычислить вероятностные характеристики системы. Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.
Решение.
Определим интенсивность потока обслуживания:
m = |
1 |
= |
1 |
= 0;555: |
|
|
|||
tобсл |
1;8 |
|
||
Приведенная интенсивность потока заявок:
r = |
l |
= |
1 |
= 1;8: |
|
m |
0;555 |
||||
|
|
|
Предельные вероятности состояний вычисляем по формулам Эрланга (6.21):
P0 = |
1 |
|
= |
1 |
|
0;186; |
|
3 |
rk |
1 + 1;8 + 1;62 + 0;97 |
|
||||
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
||
|
k=0 |
|
|
|
|
||
P1 = 1;8 0;186 0;334;
P2 = 1;62 0;186 0;301;
P3 = 0;97 0;186 0;18:
Вероятность отказа в обслуживании заявки:
POT K = P3 = 0;18:
Относительная пропускная способность ВЦ:
q = 1 0;18 = 0;82:
61
Абсолютная пропускная способность ВЦ:
A = 1 0;82 = 0;82:
Среднее число занятых каналов — ПЭВМ:
¯ = 1;8 0;82 = 1;476: k
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (P3 = 0;18). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных l и m можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ. Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т. е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0;018. Для этого используем формулу (6.22).
Составим таблицу (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Предельные вероятности состояний
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
P0 |
0,357 |
0,226 |
0,186 |
0,172 |
0,167 |
0,166 |
POT K |
0,643 |
0,367 |
0,18 |
0,075 |
0,026 |
0,0078 |
Анализируя вычисленные данные таблицы, можно отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях l и m до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при n = 6 вероятность отказа ВЦ в обслуживании составляет 0,0078.
Многоканальные СМО с ожиданием
Пусть система имеет C каналов обслуживания.
При нормальной работе в установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:
8 l Pn 1 |
|
(l + n m) Pn + (n + 1) m Pn+1 = 0; 1 n < C; |
(6.24) |
|||||||||||
< l |
|
Pn 1 |
|
(l +C |
|
m) |
Pn +C |
|
m |
|
Pn+1 = 0; n |
|
C: |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
62
|
Решение системы (6.24) имеет вид: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
8 |
|
|
rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Pn = |
|
|
P0; 0 n < C; |
|
|
|||||||||||
|
n! |
|
|
||||||||||||||
|
> |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.25) |
|
|
> |
Pn = C!Cn c P0; n C; |
|
|
|||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
: |
|
|
|
rn |
|
|
rC |
|
|
1 |
|
|
||||
|
P = |
C 1 |
+ |
|
: |
(6.26) |
|||||||||||
|
|
C!(1 Cr ) |
|
||||||||||||||
|
0 |
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие:
l
m C
< 1:
Вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО в стационарном режиме с ожиданием и неограниченной очередью
Вероятность того, что в системе на обслуживании находится n клиентов, определяется по формулам (6.25) и (6.26).
Среднее число клиентов в очереди на обслуживание:
Lq = |
8 (C |
r)2 9 |
PC: |
|||
|
> |
C |
r |
|
||
|
|
|
> |
|
||
|
> |
|
|
|
> |
|
|
: |
|
|
|
; |
|
Среднее число клиентов, находящихся в системе:
LS = Lq + r:
Средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:
Lq
Wq = l :
Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:
1
WS = Wq + m :
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
Пример. Механическая мастерская завода с тремя стационарными ремонтными постами выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, имеет интенсивность l = 2;5
63
механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма равно 0,5 суток. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов на ремонт перед мастерской может расти практически неограниченно.
|
Требуется определить значения вероятностных характеристик |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Определим параметр потока обслуживания: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = |
|
1 |
= |
1 |
= 2: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tобсл |
0;5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Приведенная интенсивность потока заявок: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
l |
= |
2;5 |
= 1;25: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если при этом |
l |
|
= |
2;5 |
= 0;41 < 1, то очередь не растет безгранично, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в системе наступает предельный стационарный режим работы. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислим вероятности состояний системы, используя формулы (6.25) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и (6.26): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P0 |
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= 0;279 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r1 |
r2 |
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
1;252 |
|
|
1;253 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 + |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1;25 + |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
1;25 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3!(1 3 ) |
|
|
|
|
6 |
(1 |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P1 = |
r |
P0 = 1;25 0;279 = 0;349 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
1;252 |
|
0;279 = 0;218 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P2 = |
|
|
P0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
1;253 |
|
0;279 = 0;091 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P3 = |
|
|
P0 = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r4 |
|
|
|
|
|
|
|
1;254 |
|
0;279 = 0;028 : |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P4 = |
|
|
P0 = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вероятность отсутствия очереди у мастерской:
Pотс.очер = P0 + P1 + P2 + P3 = 0;279 + 0;349 + 0;218 + 0;091 = 0;937 :
Среднее число заявок в очереди на обслуживание вычисляется по формуле (6.27):
3 1;25
Lq = (3 1;25)2 0;091 0;111:
64
Среднее число находящихся в системе заявок (6.28):
LS = 0;111 + 1;25 = 1;361:
Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживании (6.29):
Wq = |
0;111 |
= 0;044 |
суток. |
||
|
|||||
2;5 |
|
|
|
|
|
Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской вы- |
|||||
числяется по формуле (6.30): |
|
|
|
||
WS = 0;044 + |
1 |
0;544 |
суток. |
||
|
|||||
2 |
|||||
6.3. Варианты для выполнения задания
Вариант задания выбирается по номеру бригады в журнале группы.
Вариант 1
Одноканальная СМО c отказами — телефонный ручной коммутатор — представляет собой одну телефонную линию. Заявка на обслуживание (новый вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока l = 0;95 вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора составляет t = 1 минута. Определите вероятностные функциональные характеристики СМО в установившемся режиме работы коммутатора.
Вариант 2
В одноканальную СМО с отказами, например, справочная служба в супермаркете, поступает простейший поток заявок с интенсивностью l = 0;5 заявки в минуту. Время обслуживания заявки имеет показательное распределение с t¯ = 1;5 минуты. Определите вероятностные функциональные характеристики СМО в установившемся режиме работы.
Вариант 3
В вычислительном центре (ВЦ) работает 5 персональных компьютеров. Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность l = 10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 минут. Поступающая вновь заявка получает отказ, если все персональные компьютеры заняты. Найдите вероятностные функциональные характеристики системы обслуживания (ВЦ).
Вариант 4
В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью l = 1;5 заявки в день. Время обслуживания рас-
65