Материал: ОиММПР. Практические работы 2019

согласно номеру варианта, ход решения и полученные результаты по каждому пункту задания. В титульном листе отчета обязательно должны быть указаны номер варианта задания, номер группы и ФИО учащегося.

6. Защитить по отчету выполненную работу.

Примечание. Работа выполняется побригадно. При проведении расчетов допускается использовать систему Octave.

5.5.Контрольные вопросы

1.Что называется теорией игр?

2.Что понимается под стратегией игры?

3.Какие игры называются играми с нулевой суммой; с ненулевой

суммой?

4.Раскройте понятия конечной и бесконечной игры.

5.Что такое платежная матрица?

6.Раскройте понятие седловой точки.

7.Что называется нижней ценой игры, верхней ценой игры? Как они определяются?

8.Укажите суть игры со смешанными стратегиями.

Список использованных источников

1. Таха, Х. Введение в исследование операций /Х.Таха. — М. : Мир,

1986.

2.Есипов, Б. А. Методы исследования операций /Б.А. Есипов. — СПб.

:Лань, 2013. — 304 с.

3.Вентцель, Е. С. Исследование операций. Задачи и принципы методологии /Е.С. Вентцель. — М. : Наука, 1980.

51

Практическая работа 6

Определение параметров систем массового обслуживания

6.1. Цели работы

Изучение работы, постановка задачи и приобретение навыков определения параметров и функциональных характеристик систем массового обслуживания.

6.2. Теоретические сведения

Определение. Случайный процесс, протекающий в системе S, называется марковским, если для каждого момента времени t0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t0) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = t0) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как процесс развивался в прошлом). Случайный процесс называется процессом с дискретными состояниями, если возможные состояния системы S1; S2; S3; ::: можно перечислить, т.е. множество S счетное. Случайная последовательность называется простой марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода Pi(k) из любого состояния Si в любое Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si.

Марковские процессы в системах массового обслуживания используются для анализа и моделирования переходов системы как результат воздействия на систему каких-то потоков событий (заявок).

6.2.1. Одноканальные модели систем массового обслуживания

Системы массового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые от клиентов (заказчиков, абонентов) в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

Одноканальная СМО с отказами

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 6.1), у которого имеются два состояния:

S0 — канал свободен (ожидание),

S1 — канал занят (идет обслуживание заявки). Обозначим вероятности состояний:

P0(t) — вероятность состояния «канал свободен»,

P1(t) — вероятность состояния «канал занят».

52

Рис. 6.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

По размеченному графу состояний (рис. 6.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

8

>

> dP0(t) = l P0(t) + m P1(t);

<

> dt

(6.1)

>dP1(t)

>= m P1(t) + l P0(t);

:

dt

где l — интенсивность поступления заявок в систему, m — интенсивность обслуживания.

Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

Величина POT K может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пункт приема ежедневного обслуживания мойки автомобилей. Заявка —

53

автомобиль, прибывший в момент, когда пункт занят, получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — 1;8 часа. Найти основные характеристики системы.

Решение.

Определим интенсивность потока обслуживания:

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 36% прибывших на пункт автомобилей.

Абсолютную пропускную способность определим по формуле (6.4):

A = 1 0;356 = 0;356:

Это означает, что система способна выполнить в среднем 0,356 заявок или обслужить 0,356 автомобилей в час.

Вероятность отказа (6.5):

Pотк = 1 q = 1 0;356 = 0;644:

Это означает, что при заданной интенсивности автомобилей (заявок), около 64% прибывших на пункт автомобилей получат отказ в обслуживании.

Одноканальное СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0 — «канал свободен»,

S1 — «канал занят» (очереди нет),

S2 — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди),

54

. . .

SN — «канал занят» (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

>

>

>

:

l

где r = m .

Решение системы уравнений (6.7) имеет вид:

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной

55