Материал: ОиММПР. Практические работы 2019

где a, b, c — некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением a < b.

Заданные таким образом функции используются для придания множествам свойств, которые характеризуют неопределенности типа «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень доходов и цен», «высокая норма прибыли», «высокое качество услуг», «высокий сервис обслуживания» и многие другие.

Задание функций принадлежности с использованием известных вариантов

Обратите внимание, что ранее заданные L и g-образные функции могут быть использованы для построения рассмотренных выше t и T -образных функций принадлежности по формулам

t(x; a; b; c) = minfg(x;a;b);L(x; b; c)g;

x2X

T (x; a; b; c; d) = minfg(x;a;b);L(x; c; d)g:

x2X

s-образная функция принадлежности.

Сигмоидальная функция принадлежности относится к классам S и Z-образных функций одновременно и при условии a < b задается аналитически следующим выражением:

1

s(x; a; b) = 1 + e a(x b) :

При этом в случае b > 0 имеем S-образную функцию принадлежности, а в случае a < 0 имеем Z-образную функцию принадлежности.

P-образные функции принадлежности класс P.

P-образные функции принадлежности могут быть заданы аналитически следующими выражениями:

P1(x; a; b; c; d) = S(x; a; b) Z(x; c; d);

где a, b, c, d — числовые параметры, a 6 jbj 6 jcj 6 d;

P2(x; a; b; c; d) = s(x; a; b) s(x; c; d);

где a, b, c, d — числовые параметры, причем a > 0, c < 0, a 6 jbj 6 jcj 6 d;

41

1

P3(x; a; b; c) = 1 + x c 2b ;

a

где a, b, c — некоторые числовые параметры, принимающие произвольные действительные значения и упорядоченные отношением a < b < c, причем b > 0. Такую функцию называют колоколообразной функцией;

(x c)2

P4(x; s; c) = e 2s2 ;

где s и c — числовые параметры. Эту функцию в теории вероятности называ-

ют функцией плотности нормального распределения в предположении, p

что 2ps = 1, где s2 — дисперсия, c — математическое ожидание распределения.

4.3. Варианты для выполнения задания

Формализуйте и запишите заданную фразу при U = N, U = R. Вариант задания выбирается по номеру бригады.

1.«Малая скорость автомобиля».

2.«Вчера было не жарко».

3.«Вечером прохладно — для лета».

4.«Утром прохладно — для весны».

5.«Вечером прохладно — для зимы».

6.«Утром прохладно — для осени».

7.«Вода для купания прохладная».

8.«Вода для купания холодная».

9.«Большая скорость автомобиля».

10.«Завтра будет жарко».

11.«Автобус вот-вот придет».

12.«Что-то долго нет маршрутки».

13.«Число много больше 13».

14.«Низкая температура (в смысле погоды)».

15.«Не очень далеко».

4.4.Порядок выполнения задания

1.Изучить теоретический материал по теме работы (практикум, лекции, учебники).

2.Выписать согласно своему номеру варианта исходные данные для выполнения практической работы.

3.Задать свой интервал рассмотрения — область допустимых значений.

42

4.Определить свои границы оптимального значения величины.

5.Формализовать значения и записать их в числовом и аналитическом

видах.

6.Представить запись в графическом виде с помощью программного пакета Octave.

7.Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

8.Оформить отчет в печатном виде согласно рекомендациям преподавателя. В отчете должны быть подробно расписаны исходные данные задачи согласно номеру варианта, ход решения и полученные результаты по каждому пункту задания. В титульном листе отчета обязательно должны быть указаны номер варианта задания, номер группы и ФИО учащегося.

9.Защитить по отчету выполненную работу.

Примечание. Работа выполняется бригадой учащихся не более двух человек. При проведении расчетов допускается использовать систему Octave.

4.5.Контрольные вопросы

1.Что такое величины, заданые в области определения нечеткого множества?

2.Что такое границы оптимальных значений заданной величины?

3.Что такое область допустимых значений заданной величины?

4.Обьясните понятие «функция принадлежности», диапазон значений аргумента и функции.

5.Поясните запись:

Список использованных источников

1.Ярушкина, Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем / Н.Г. Ярушкина. — М. : Финансы и статистика, 2004. — 320 с.

2.Рыбин, В. В. Основы теории нечетких множеств и нечеткой логики : учебное пособие / В.В. Рыбин. — М. : МАИ, 2007. — 96 с.

43

Практическая работа 5

Построение игровых моделей

5.1. Цели работы

Изучение способов и приобретение навыков построения игровых моделей. Постановка задачи, определение стратегии и принятие решения в условиях спорной или конфликтной ситуации.

5.2.Теоретические сведения

5.2.1.Основные понятия теории игр

Реальная ситуация, при которой эффективность решения, принимаемого одной стороной, зависит от предпринимаемых действий другой стороны, или ситуация, в которой одна или более сторон стремятся решить свои интересы за счет других сторон, называется спорной или конфликтной. Задача, сложившаяся в рамках игровой модели, подразумевает существование нескольких сторон как лиц, принимающих решения и действующих независимо в своих интересах, с учетом неопределенности, вызванной действиями (намерениями) других сторон.

Теория, занимающаяся принятием решения в условиях спорной или конфликтной ситуации, называется теорией игр. Предполагаемая математическая модель спорной или конфликтной ситуации представляет собой игру.

Игра – это совокупность правил, описывающих сущность конфликтной ситуации. Эти правила устанавливают:

выбор варианта действия игроков на каждом этапе игры;

объем информации, которой обладает каждый игрок при осуществлении такого выбора;

текущую плату для каждого из игроков после завершения любого этапа игры.

Взависимости от количества конфликтующих сторон, игры делятся на парные и множественные.

Стратегией игры называется совокупность правил, определяющих поведение игрока на каждом этапе от начала игры до ее завершения. Стратегии каждого игрока определяют выбор варианта действий в зависимости от сложившейся ситуации и, соответственно, результаты или платежи в игре.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий.

44

Результаты конечной парной игры с нулевой суммой можно задавать матрицей, строки и столбцы которой соответствуют различным стратегиям, а ее элементы - выигрышам одной стороны (равные проигрышам другой). Эта матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.

5.2.2. Парная игра с нулевой суммой в чистых стратегиях

Пусть заданы множество возможных стратегий: для первого игрока

fAig, для второго игрока fBjg, платежная матрица Am n = ai j , где ai j — выигрыш первого игрока или проигрыш второго игрока при выборе ими стратегий fAig и fBjg соответственно. В ходе игры каждый из игроков однозначно с вероятностью 1 выбирает некоторую стратегию, т.е. пользуется при выборе решения чистой стратегией. Поскольку интересы игроков противоположны, то первый игрок стремится максимизировать свой выигрыш, а второй игрок, наоборот, стремится минимизировать свой проигрыш.

Решение игры состоит в определении каждым игроком наилучшей стратегии. Решение игры двух лиц с конечной нулевой суммой использует критерий минимакса-максимина.

Если первый игрок применяет стратегию fAig, то второй будет стремиться к тому, чтобы выбором соответствующей стратегии fBjg свести выигрыш первого игрока к минимуму, что равнозначно сведению своего проигрыша к минимуму. Величина этого минимума находится по следующей формуле:

Первый игрок (при любых ответах противника) будет стремиться найти такую стратегию, при которой ai обращается в максимум:

Величина a называется нижней ценой игры. Придерживаясь ее, первый игрок при любых стратегиях противника обеспечит себе выигрыш не меньший a. Другими словами, нижняя цена игры является гарантированным выигрышем первого игрока при любых стратегиях второго игрока.

Аналогично определим по каждому столбцу матрицы:

Найдем минимальное значение bj:

45