Материал: Практикум по метрологии, стандартизации и сертификации рекомендовано в качестве учебного пособия

77
Соединяем первое и второе правила – умножаем наше число на со- отношение и получим 2500, то есть 25 см
2
= 2500 мм
2
Пример 3
Переведите в метры в секунду 36 км/ч.
Работаем по тем же правилам и выполняем перевод одновременно в числителе и знаменателе. км 36 1000 м 36000 м м
36 10
ч
1 3600 с
3600 с с





1.4. Доверительная вероятность и доверительный интервал
Точечные оценки распределения дают оценку в виде числа, наибо- лее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки исполь- зуют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выбор- ки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый
доверительным
, между границами которого с заданной
доверительной вероятностью
находится истинное значение оценивае- мого параметра.
Для получения доверительного интервала величины необходимо:
 определить точечные оценки по формулам
1 1
n
i
i
x
x
n



,


2 1
1 1
n
x
i
i
S
x
x
n





,
x
x
S
S
n

;
 выбрать доверительную вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99 (если не указана в задаче);
 найти верхнюю х в
и нижнюю х н
границы по формулам: в
x
P
x
x
t S


 , н
x
P
x
x
t S



;
 записать доверительный интервал
н
x
<
x
<
в
x
, Р.
Пример 1.
При многократном измерении длины L были получены значения в мм: 30,2; 30,0; 30,4; 29,7; 30,3; 29,9; 30,2. Укажите довери- тельные границы истинного значения длины с вероятностью Р = 0,98
(t
p
= 3,143).
Решение
1 1
n
i
i
x
x
n



=30,1 мм;

78


2 1
1 0,39 0,255 7 1 1
1
n
x
i
i
S
x x
n








мм;
0,255 0,0964 7
x
x
S
S
n



мм; в
30,1 3,143 0,0964 30, 403
x
P
x
S
x
t







мм; н
30,1 3,143 0,0964 29,797
x
P
x
x
t S







мм;
29,8 мм <
x
< 30,4 мм, Р=0,98.
Пример 2.
Запишите результат измерений и определите его точ- ность: t =
29,7564 с, Δ = ±0,0172 с.
Решение:
При решении необходимо округлить погрешность измерения, со- гласовать ее с измеренным значением по правилам, приведенным в приложении Д. Затем необходимо определить точность измерения, ко- торую показывает относительная погрешность – изм
100 %
x




t = (29,756±0,017) с; изм
100 %
0,017 100% 0,057 %
29,756
x







1.5. Литература
1. ГОСТ 8.417-2002 ГСИ. Единицы величин
2. МИ 1317-2004. Методические указания. ГСИ. Результаты и харак- теристики погрешности измерений. Формы предоставления. Спо- собы использования при испытаниях образцов продукции и кон- троле их параметров.
3. РМГ 29-99. Рекомендации по межгосударственной стандартизации.
ГСИ. Метрология. Основные термины и определения.
4. Сергеев А.Г., Крохин В.В. Метрология: учебное пособие для вузов.
–М.: Логос, 2001.

79
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2
КЛАССЫ ТОЧНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
2.1. Цели

- изучить обозначения классов точности средств измерений, прави- ла установления пределов допускаемых погрешностей показаний по классам точности средств измерений, правила суммирования систематических погрешностей.

- научиться определять пределы допускаемых абсолютных, относи- тельных и приведенных погрешностей на основании классов точ- ности средств измерений.
2.2. Классы точности средств измерений
Единые правила установления пределов допускаемых погрешно- стей показаний по классам точности средств измерений регламентирует
ГОСТ 8.401-80 «ГСИ. Классы точности средств измерений».
Класс точности средств измерений
− обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основной и дополнительной погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющими на их точность, значения которых устанавли- ваются в стандартах на отдельные виды средств измерений. Классы точности присваиваются средствам измерений при их разработке с уче- том результатов государственных приемочных испытаний. Класс точ- ности хотя и характеризует совокупность метрологических свойств данного средства измерений, однако не определяет однозначно точность измерений, так как последняя зависит от метода измерений и условий их выполнения.
Средствам измерений с двумя или более диапазонами измерений одной и той же физической величины допускается присваивать два или более класса точности. Средствам измерений, предназначенным для из- мерений двух или более физических величин, допускается присваивать различные классы точности для каждой измеряемой величины. С целью ограничения номенклатуры средств измерений по точности для СИ конкретного вида устанавливают ограниченное число классов точности, определяемое технико-экономическими обоснованиями.
Классы точности цифровых измерительных приборов со встроен- ными вычислительными устройствами для дополнительной обработки результатов измерений устанавливают без учета режима обработки.

80
2.3. Способы нормирования и формы выражения метрологических
характеристик
Пределы допускаемых основной и дополнительных погрешностей следует выражать в форме
приведенных
,
относительных
или
абсолют-
ных погрешностей
в зависимости от характера изменения погрешностей в пределах диапазона измерений, а также от условий применения и назначения средств измерений конкретного вида. Пределы допускаемой дополнительной погрешности допускается выражать в форме, отличной от формы выражения пределов допускаемой основной погрешности.
2.4. Обозначение классов точности средств измерений в документации
Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешности которых принято выражать в форме абсолютных погрешностей или отно- сительных погрешностей, причем последние установлены в виде графика, таблицы или формулы, классы точности в документации обозначаются прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами.
В необходимых случаях к обозначению класса точности буквами латинского алфавита добавляют индексы в виде арабской цифры. Клас- сам точности, которым соответствуют меньшие пределы допускаемых погрешностей, соответствуют буквы, находящиеся ближе к началу ал- фавита, или цифры, означающие меньшие числа.
Для средств измерений пределы допускаемой основной погрешно- сти которых принято выражать в форме приведенной погрешности или относительной погрешности в соответствии с формулой δ = Δ / х = ± q, классы точности в документации следует обозначаются числами, кото- рые равны этим пределам погрешности, выраженными в процентах.
Обозначение класса точности, таким образом, дает непосредственное указание на предел допускаемой основной погрешности.
Для средств измерений, пределы допускаемой основной погрешно- сти которых принято выражать в форме относительных погрешностей в соответствии с формулой
1 ,
N
изм
X
c d
X





  









классы точности в до- кументации обозначаются числами с и d, разделенных косой чертой (c/d).
В документации на средства измерений допускается обозначать классы точности так же, как на средствах измерений. В эксплуатацион- ной документации на средство измерений конкретного вида, содержа- щей обозначение класса точности, содержится ссылка на стандарт или технические условия, в которых установлен класс точности этого сред- ства измерений.

81
2.5. Обозначение классов точности на средствах измерений
Условные обозначения классов точности наносятся на циферблаты, щитки и корпуса средств измерений.
При указании классов точности на измерительных приборах с су- щественно неравномерной шкалой, для информации, дополнительно указываются пределы допускаемой основной относительной погрешно- сти для части шкалы, лежащей в пределах, отмеченных специальными знаками (например, точками или треугольниками). К значению предела допускаемой относительной погрешности в этом случае добавляют знак процента и помещают в кружок. Обращаем ваше внимание на то, что этот знак не является обозначением класса точности.
Обозначение класса точности допускается не наносить на высоко- точные меры, а также на средства измерений, для которых действую- щими стандартами установлены особые внешние признаки, зависящие от класса точности, например параллелепипедная и шестигранная фор- ма гирь общего назначения.
За исключением технически обоснованных случаев, вместе с условным обозначением класса точности на циферблат, щиток или кор- пус средств измерений наносится обозначение стандарта или техниче- ских условий, устанавливающих технические требования к этим сред- ствам измерений.
На средства измерений, для одного и того же класса точности ко- торых в зависимости от условий эксплуатации установлены различные рабочие области влияющих величин, наносятся обозначения условий их эксплуатации, предусмотренные в стандартах или технических услови- ях на эти средства измерений. Обозначения классов точности на сред- ствах измерений приведены в приложении Б.
Пример 1.
Класс точности выражен числом в кружке
Это означает, что относительная погрешность измерения для любо- го измеренного значения в пределах шкалы равна 1,5 %. Учитывая фор- мулу относительной погрешности изм
100 %
x
x




, можно легко вычислить абсолютную погрешность. Для нашего примера: изм изм
1,5 %
0,015 100 %
x
x
x

 

, где изм
x
– измеренное значение физической величины.
1,

82
Абсолютная погрешность здесь минимальна около нуля и макси- мальна около предельного значения диапазона измерения.
Пример 2.
Класс точности выражен числом без кружка, напри- мер, 0,5. Это означает, что приведенная погрешность средства измере- ния равна
0,5 %


. Тогда абсолютную погрешность можно определить из формулы расчета приведенной погрешности:
100%
N
х
х




Найдем абсолютную погрешность:
0,5 %
0,005 100 %
N
N
х
х
х

 

, где х
– верхний предел диапазона измерения.
Пример 3.
Класс точности выражен дробью c/d, например,
0,02/0,01. Здесь относительная погрешность определяется двучленной формулой: изм
1 %
N
x
c d
x
















В нашем случае: изм
0,02 0,01 1 %
N
x
x
















После вычисления относительной погрешности легко определяет- ся абсолютная погрешность, как показано в примере 1.
Пример 4.
В зависимости от типа средств измерений электриче- ских величин относительная погрешность измерений может выражаться и другими формулами. Например, относительная погрешность некото- рых типов вольтметров может быть выражена формулой: изм
%
N
R
f
e
R









, где f и e – константы, числовые значения которых приводятся в техни- ческой или нормативной документации на это СИ.
Пример 5.
Для СИ линейных размеров, углов, температур, массы и ряда других величин классы точности выражаются числами 00, 0, 1, 2, 3.
Здесь следует обратиться к НД или ТД на данный тип СИ, где указаны формы выражения погрешностей, такие как
,
,
x a
x ax
x a bx
 
 
  

83
И даны конкретные значения допускаемых погрешностей для дан- ного средства измерения в соответствии с его классом точности и зна- чения констант a и b.
Пример 6
. Точность СИ может выражаться в ppm.
Миллионная
доля
(
пропромилле
) – единица измерения каких-либо относительных величин, равная 1·10
−6 от базового показателя. Аналогична по смыслу проценту или промилле. Обозначается cокращением
ppm
(от англ. parts
per million или лат. pro pro mille, читается «пи-пи-эм», «частей на мил- лион»),
млн
−1
или.
1 ppm = 0,001 ‰ = 0,0001 % = 0,000001 = 10
−6
Например, 50 ppm = 0,005 %.
Рассмотрим несколько примеров расчета погрешностей.
Пример 7.
Миливольтметром В3-38 измерялось напряжение пере- менного тока. В нормальных условиях получены следующие значения: а) на поддиапазоне (0–300) мВ:
U = 100, 200, 300 мВ; б) на поддиапазоне (0–300) В:
U = 100, 200, 300 В.
Оценить погрешности измеренных значений напряжений.
Решение
Предел допускаемой основной погрешности от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен ±2,5 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 мВ и 4 % на поддиапазоне измерений от 1 до 300 В.
Приведенная и абсолютная погрешности в случае а) будут иметь следующие значения:
2,5 %
100 %
N
U
U


 
 

,
2,5 % 300 мВ
7,5 мВ
100 %
U

  
 
Приведенная и абсолютная погрешности в случае б) будут иметь следующие значения:
4 %
100 %
N
U
U


 
 

,
4 % 300 В
12 В
100 %
U

  
 

84
Решение
Из технического описания на В7-17 находим, что формула, выра- жающая относительную погрешность измерения сопротивления имеет следующий вид: изм
0,2 0,02
%
N
R
R









, тогда: изм
100 Ом
100 %
0,2 0,02
%
0,24 %
50 Ом
N
R
R





 

 




,
50 кОм 0,24 %
0,12 кОм
100 %
R

  
 
Пример 9.
Имеется низкочастотный генератор сигналов Г3-36, на выходе которого установлена частота 50 Гц. Оценить погрешность установки частоты.
Решение.
Из технической документации на генератор находим, что основная погрешность установки частоты F данного генератора определяется по формуле:


0,03 1,5 Гц
F
F
  

И для установленной частоты равняется:


0,03 50 1,5 Гц
3 Гц.
F
  


 
2.6. Суммирование систематических погрешностей прямых измерений
Систематическая погрешность прямых измерений может представ- лять результат суммирования нескольких погрешностей. Источники та- ких погрешностей могут быть самые разнообразные. Например, это мо- жет быть погрешность, обусловленная классом точности СИ, погрешно- сти установочных мер, погрешности влияния внешних условий, по- грешность метода измерения, табличная погрешность, погрешность па- раллакса, округления результатов вычисления и т. д.
Обозначим эти погрешности через:
1 2
3
, , ,
n
  


Принято считать, что систематические погрешности
i
 распределены, как правило, по равномерному закону внутри своих интервалов


;
i
i


 

85
Знаки
i
 и их значения можно рассматривать как случайные вели- чины, тогда суммарная погрешность измерения при отсутствии корре- ляции между
i
 оценивается по формуле:
2 2
2 2
2 1
2 3
1
,
n
n
i
i
k
k







 



 

где k – коэффициент, соответствующий выбранной доверительной веро- ятности.
Коэффициент k,как показывают расчеты, зависит от числа n по- грешностей
i
 и от соотношения c их величин. Значение c определяется следующим образом: среди всех составляющих погрешностей выбира- ется наибольшая по модулю и ближайшая к ней, а затем вычисляется значение c как отношение первой ко второй, после чего значение k находится по табл. 2.1.
Таблица 2.1
Значения коэффициентов k
c
α = 0,90
α = 0,95
α = 0,99
n = 2
n = 3
n = 4
n = 2
n = 3
n = 4
n = 2
n = 3
n = 4 1 0,967 0,958 0,946 1,101 1,120 1,120 1,276 1,376 1,410 2 0,942 0,945 0,945 1,054 1,086 1,096 1,215 1,313 1,360 3 0,918 0,926 0,935 1,019 1,046 1,062 1,157 1,283 1,284 4 0,906 0,912 0,918 0,996 1,017 1,032 1,116 1,182 1,223 5 0,900 0,905 0,911 0,982 0,997 1,012 1,089 1,143 1,179
Расчет суммарной погрешности

можно проводить и без учета числа составляющих
i
 . При этом при доверительных вероятностях:
0,90;
0,95;
0,99






используются соответственно коэффициенты:
1; 1,1; 1,4.
k
k
k



Суммарная погрешность здесь может получиться несколько завы- шенной. Что для большинства практических задач несущественно.
Можно встретить и другие рекомендации оценивания суммарной погрешности. Так, оценка сверху погрешности результата измерения может быть представлена простым суммированием модулей составляю- щих:
1
n
i
i





Для оценки суммарной погрешности измерения простое суммиро- вание модулей составляющих считается более целесообразным, когда