Материал: Практикум по метрологии, стандартизации и сертификации рекомендовано в качестве учебного пособия

27
Для уменьшения случайной составляющей погрешности проводят многократные измерения.
Случайная погрешность оценивается доверительным интервалом
x
P
t S

   
,
(3.3) где
P
t – коэффициент Стьюдента для данного уровня доверительной ве- роятности Р
д
и объема выборки
n
(число измерений)
.
Доверительные границы погрешности результата измерения
– границы интервала, внутри которого с заданной вероятностью находит- ся искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.
Выборка
– ряд из
х
результатов измерений
{х
i
}, i = 1, ... , п (п > 20)
, из которых исключены известные систематические погрешности. Объем выборки определяется требованиями точности измерений и возможно- стью производить повторные измерения.
Вариационный ряд
– выборка, упорядоченная по возрастанию.
Гистограмма
– зависимость относительных частот попадания ре- зультатов измерения в интервалы группирования от их значений, пред- ставленная в графическом виде.
Оценка закона распределения
– оценка соответствия экспери- ментального закона распределения теоретическому распределению.
Проводится с помощью специальных статистических критериев. При
п < 15
не проводится.
Точечные оценки закона распределения
– оценки закона распре- деления, полученные в виде одного числа, например оценка дисперсии результатов измерений или оценка математического ожидания и т. д.
Средняя квадратическая погрешность результатов единичных
измерений в ряду измерений
(средняя квадратическая погрешность результата измерений) − оценка
S
x
рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения, вычисляемая по формуле:


2 1
1 1
n
x
i
i
S
x x
n





, (3.4)
где
i
x – результат i-го единичного измерения;
x
– среднее арифметиче- ское значение измеряемой величины из
n
единичных результатов.
Примечание. На практике широко распространен термин
среднее
квадратическое отклонение – (СКО)
. Под отклонением в соответствии с приведенной выше формулой понимают отклонение единичных ре- зультатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения.
В метрологии это отклонение называется погрешностью измерений.

28
Средняя квадратическая погрешность результата измерений
среднего арифметического
− оценка
x
S
случайной погрешности сред- него арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений, вычисляемая по формуле
 


2 1
1
x
x
i
S
S
x x
n
n n





, (3.5) где
x
S
–
средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; n

29
K S

   ,
(3.7) где
K
–
коэффициент, зависящий от соотношения случайной составля- ющей погрешности и НСП.
Суммарное среднее квадратическое отклонение S

оценки измеря- емой величины вычисляют по формуле
2 2
x
S
S
S




, (3.8) где S

–
среднее квадратическое отклонение НСП, которое оценивают в зависимости от способа вычисления НСП по формуле
3
S




,
(3.9) где


–
границы НСП, которые определяют по одной из формул (3.1),
или
 
3
P
k
S




,
(3.10) где
 
P


–
доверительные границы НСП, которые определяют по од- ной из формул (3.2);
k
–
коэффициент, определяемый принятой довери- тельной вероятностью
P, числом составляющих НСП и их соотношени- ем между собой.
Коэффициент
K для подстановки в формулу (3.7) в зависимости от числа НСП определяют по эмпирическим формулам соответственно
x
K
S
S






,
 
x
P
K
S
S


 



(3.11)
3.5. Алгоритм обработки результатов наблюдений
Обработку результатов наблюдений проводят в соответствии с
ГОСТ 8.736 «ГСИ. Измерения прямые с многократные. Методы обра- ботки результатов измерений. Основные положения».
3.5.1. Определение точечных оценок закона распределения
1 1
n
i
i
x
x
n



;


2 1
1 1
n
x
i
i
S
x x
n





;
x
x
S
S
n

3.5.2. Построение экспериментального закона распределения ре- зультатов многократных наблюдений а) в таблицу 3.2 записать вариационный ряд результатов много- кратных наблюдений
xi
;

30
б) определить число интервалов группирования по формуле
m

3,3 lg (n) + 1 (для n = 20 m

(5 – 6)); в) вычислить интервал группирования max min
x
x
h
m


и разбить вариационный ряд на интервалы; границы первого интервала m
1
: min min
;
x
x
h







; граница второго интервала равна m
2
:

min min
;
x
h x
h h



 
и т. д.; г) вычислить относительные частоты
j
j
n
n
n

, где j = 1, …, m;
j
n
– число значений
х
из вариационного ряда, попав- ших в j-й интервал группирования; д) построить гистограмму, пример представлен на рис. 3.1.
Гистограмма
Рис. 3.1
При малых n < 15 гистограмма позволяет оценить тип эксперимен- тального распределения только качественно, и оценка соответствия вы- борочного распределения теоретическому распределению не произво- дится. Данная в примере гистограмма позволяет предположить нормаль- ный характер распределения результатов многократных наблюдений.
3.5.3. Определение доверительных границ случайной погрешности а) задать доверительную вероятность из ряда Р
д
= 0,9; 0,95; 0,99; б) определить доверительные границы случайной погрешности по формуле
P
x
t S

    ,
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 1
2 3
4 5
6
Относительн ая частота
Интервалы

31
где
P
t – коэффициент Стьюдента для данного уровня доверительной ве- роятности Р
д
и объема выборки n
(по табл. Г.1 приложения Г).
3.5.4. Определение границ неисключенной систематической по- грешности
Неисключенная систематическая погрешность определяется погреш- ностью метода, субъективной погрешностью, основными погрешностями
СИ (вольтметра, генератора), дополнительными погрешностями. Они определяются нестатистическими методами. Суммарные границы неис- ключенной систематической погрешности определяются по формуле:
2 1
1
N
i
i
N
i
i
k











 



, при N>4
, при N≤3 где N – количество составляющих неисключенной систематической по- грешности.
3.5.5. Определение доверительных границ погрешности оценки из- меряемой величины
Доверительные границы погрешности оценки измеряемой величи- ны
 (без учета знака) вычисляют, как показано в п. 3.4.
3.5.6. Записать результат измерения в виде
x x
 
с указанием единиц измерения (правила записи результата измерений приведены в приложении Д).
3.6. Цель работы
 приобретение навыков применения средств измерений и экспери- ментального определения их основных классификационных при- знаков;
 изучение и освоение вероятностно-статистического метода обра- ботки результатов многократных наблюдений;
 приобретение навыков математической обработки результатов прямых равноточных измерений с многократными наблюдениями в соответствии с ГОСТ 8.736 и представления результата измерений в соответствии с МИ 1317.
3.7. Используемые технические средства
 генератор электрических сигналов (Г3-109);
 универсальный вольтметр (В7-22А).
,

32
3.8. Программа работы
3.5.1. Заполнить для используемых средств измерений (СИ) табл. 3.1.
Таблица 3.1
Классификационные признаки средств измерений
Классификационный признак
Генератор Г3-109
Вольтметр В7-22А
Вид СИ
Тип выходной величины
Форма представления информации
Назначение
Метрологическое назначение
Нормируемые метрологические характеристики СИ
3.5.2. Собрать схему для прямого измерения напряжения перемен- ного электрического сигнала произвольной частоты. Напряжение, зада- ваемое с генератора, установить в одном из пределов – 1…100 мВ;
1…10 В.
3.5.3. Произвести ряд независимых многократных наблюдений
ФВ – x. Результаты записать в таблицу 3.2 (графы 1, 2) с указанием наименования ФВ и единицы измерения:
Таблица 3.2
n
i
i
x
i
x x
x
  


2
i
x
x

Вариационный ряд
n
j
j
n
1 2 3
4 5
6 7
1 1
x
1
x
x



2 1
x
x

min
x

2 2
x
2
x
x



2 2
x
x

… …
…
…
…
19 19
x
19
x
x



2 19
x
x

20 20
x
20
x
x



2 20
x
x

max
x

1 1
n
i
i
x
x
n





2 20 1
n
i
i
x
x




Количество независимых равноточных измерений – n > 20.
3.5.4. Провести обработку результатов многократных наблюдений в соответствии с методикой ГОСТ 8.736 (см. п. 3.5) и заполнить табл. 3.2.
3.5.5. Записать результат измерения ФВ с указанием пределов и до- верительной вероятности с соблюдением правил округления (см. п. 2.4).

33 3.5.6.
Оформить отчет о проделанной лабораторной работе (пример оформления титульного листа см. в приложении А). Отчет должен со- держать:
 цель работы;
 перечень используемого оборудования;
 таблицу 3.1 (заполненную);
 схему эксперимента;
 результаты эксперимента (табл. 3.2 графы 1, 2);
 алгоритм обработки результатов эксперимента:
 выводы.
3.9. Контрольные вопросы
1.
В чем смысл многократных измерений?
2.
Цель построения гистограммы.
3.
Какими погрешностями определяется систематическая составляю- щая погрешности измерений и какими случайная составляющая?
4.
Что такое неисключенная систематическая погрешность и как ее определить?
5.
Что такое доверительные границы погрешности результата измере- ний?
6.
Как определяются доверительные границы суммарной погрешно- сти результата измерений?
3.10. Литература
1 Сергеев А.Г., Терегеря В.В. Метрология, стандартизация и серти- фикация. − М.: Издательство Юрайт: ИД Юрайт, 2013.
2 ГОСТ Р 8.736-2011. ГСИ. Измерения прямые многократные.
Мето- ды обработки результатов измерений.
Основные положения.
3 МИ 1317-2004. Методические указания. ГСИ. Результаты и харак- теристики погрешности измерений. Формы предоставления. Спо- собы использования при испытаниях образцов продукции и кон- троле их параметров.
4 РМГ 29-99. Рекомендации по межгосударственной стандартизации.
ГСИ. Метрология. Основные термины и определения.