Дипломная (вкр): Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов

Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Факультет Мировой Экономики и Мировой Политики

Отделение Экономика

Кафедра Международных Валютно-Финансовых Отношений

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему «Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов»

Студент группы № 463,

Попов Юрий Вадимович

Руководитель ВКР

Профессор, д.э.н.

Евстигнеев Владимир Рубенович

Москва, 2013

Оглавление

Введение

. Уравнение Дынкина

.1 Вид функций сноса и диффузии

.2 Метод разделения переменных

.3 Решение исходной задачи методом Фурье

.4 Решение задачи на собственные значения

.5 Весовая функция и ортонормированные полиномы

.6 Новое уравнение и итоговое общее решение

. Модель Блэка-Шоулза

. Сравнение результатов модели Блэка-Шоулза и уравнения Дынкина

.1 Опционы “при своих”

.2 Опционы “в деньгах” и “вне денег”

Заключение

Список использованных источников

Введение

На сегодняшний день валютный опцион является широко распространенным и быстро набирающим популярность производным финансовым инструментом. По данным Банка международных расчетов, ежедневный объем торговли валютными опционами на рынке Форекс вырос более чем в три раза за последние 10 лет и составил в 2010 году 207 млрд. долл. США при общем объеме рынка в 4 трлн. долларов.

Данный тип финансового контракта предоставляет покупателю опциона право в течение определенного срока (американский опцион) или на конкретную дату (европейский) обменять одну валюту на другую по заранее установленному курсу. Как правило, компании импортеры и экспортеры используют валютные опционы в качестве альтернативы форвардным контрактам для хеджирования своих валютных рисков. Валютный опцион ограничивает возможные потери от неблагоприятного изменения валютного курса ценой исполнения (страйком), при этом позволяя получить прибыль в противоположном случае.

Ввиду того, что опцион теоретически позволяет получить неограниченную прибыль при ограниченных потерях, весьма важным является процесс установления цены на данный производный контракт. Существует несколько моделей позволяющих оценить теоретическую стоимость (премию) опциона.

Наиболее известной и широко применяемой на практике является модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза. Будучи несколько модифицированной, она также позволяет оценивать стоимость валютных опционов. В ее основе лежит дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза, которое в финансовой литературе решается через замену переменных и приводит к знаменитой формуле Блэка-Шоулза . Данное уравнение является аналогичным обратному уравнению Колмогорова в конкретной спецификации, которое также называется уравнением Дынкина (по названию одноименного дифференциального оператора, входящего в это уравнение). Уравнение Дынкина для цены опциона можно решить другим способом - по методу Фурье. Полученное в итоге решение будет, скорее всего, отличаться от теоретической стоимости опциона, найденной с помощью формулы Блэка-Шоулза.

Цель настоящей работы заключается в том, чтобы оценить это различие - будет ли оно существенным и значимым, или, напротив, оценки стоимости опционов, полученные двумя разными методами, окажутся примерно одинаковыми.

Для достижения этой цели необходимо выполнить следующие задачи:

1.      Решить уравнение Дынкина методом Фурье, представить общее решение в виде разложения в ряд по базисным функциям.

2.      Используя исторические данные по процентным ставкам, валютному курсу и волатильности валютного курса, получить двумя способами оценки стоимости колл-опционов европейского типа на валютную пару евро доллар.

.        Сравнить полученные результаты с помощью методов статистического анализа.

.        Проанализировать итоговые результаты, сделать выводы.

В первой части данной работы будет приведен общий ход решения уравнения Дынкина. Во второй части - будут получены теоретические значения стоимости валютных опционов на основе и формулы Блэка-Шоулза. В третьей части будет проведено сравнение полученных оценок, а также будут проанализированы итоговые результаты и сделаны выводы.

.       
Уравнение Дынкина

В основе большинства моделей ценообразования производных финансовых инструментов лежат стохастические дифференциальные уравнения, прежде всего, уравнение геометрического броуновского движения:

 (1),

где - функция сноса равная , - функция диффузии (волатильности) равная , X - цена базового актива, t - время, µ - параметр сноса, σ - волатильность, W - винеровский процесс.

Уравнение (1) тесно связано c дифференциальным оператором A, который в одномерном случае равен:

Этот инфинитезимальный оператор называется оператором Дынкина, или обратным оператором Колмогорова. Он происходит из дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, которое называется обратным уравнением Колмогорова или уравнением Дынкина:

 (2)

В данной работе мы будем рассматривать уравнение(2) в несколько иной спецификации, и искать такое его решение, которое удовлетворяло бы определенным условиям:

 (3)

,

где F(t,x) - это цена опциона, зависящая от времени и цены базового актива, t принадлежит интервалу (0;T), - начальное (конечное) условие, - какая-то конкретная функция, которой равна функция F в момент времени Т, r - заданная константа.

Таким образом, мы получаем краевую задачу. Чтобы ее решить, необходимо определить вид функций сноса и диффузии - и .

1.1    Вид функций сноса и диффузии

В основе ценового процесса производного финансового инструмента лежат изменения цены базового актива. Предположим, ценовой процесс базового актива (X) удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:

Параметризующая функция  называется сносом процесса. Если >0, то траектория постепенно (в среднем) будет сдвигаться вверх (цена растет), иначе - вниз. Что касается функции , то она называется функцией волатильности, а ее квадрат - диффузией. Она показывает, насколько сильно ценовой процесс будет отклоняться от линии тренда, определяемой сносом.

Поскольку цена производного финансового инструмента зависит от цены базового актива, то функции сноса и волатильности входят в уравнение, описывающее динамику ценового процесса данного инструмента. В настоящей работе мы рассматриваем валютные опционы, поэтому базовым активом будет валюта, стоимость которой определяется валютным курсом. Следовательно, чтобы задать определенный вид функций сноса и волатильности, необходимо понять, чем определяется изменение валютного курса.

Для этого можно воспользоваться теорией паритета процентных ставок:

 (4),

где , внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки, - валютный курс в начальном периоде t, определяемый как отношение единиц отечественной валюты к единице иностранной,  - ожидаемый валютный курс в следующем периоде.

Данная формула основывается на следующих предположениях: существует совершенная мобильность капитала, и выполняется условие отсутствия арбитража. Тогда можно реализовать две инвестиционные стратегии. Первая заключается в том, чтобы инвестировать сумму B под процент равный внутренней безрисковой ставке на период (T-t). Напротив, вторая стратегия предполагает, что деньги в отечественной валюте в количестве равном B будут обменяны на иностранную валюту по курсу  и после этого вложены под процент равный иностранной безрисковой ставке на тот же период. Тогда на момент времени T следует обменять полученную сумму в иностранной валюте по курсу  на отечественную валюту. В результате, если выполняются приведенные выше условия, доход от реализации первой и второй стратегий должен быть одинаковым.

Можно несколько преобразовать уравнение (4):

,

 Þ .

Устремляя t к T (следовательно ®) и принимая во внимание

,

или в форме дифференциала:  (5)

Таким образом, уравнение (5) это детерминированный процесс, определяющий динамику валютного курса. Если добавить в него  (часть, которая зависит от случайной величины), то мы получим уравнение (1), где функция сноса равняется , X - валютный курс.

Функцию волатильности - принято задавать, как , где σ - это волатильность базового актива. Ее можно рассчитать на основе стандартного отклонения по формуле:

, ,

где s- стандартное отклонение, t - длина временного интервала в годах, n - количество наблюдений,  - среднее значение валютного курса за n наблюдений.

 (6)

Если численно задать параметры (ставки, волатильность…) и решить уравнение (6) при условии , то мы получим выражение, позволяющее численно оценить теоретическую стоимость валютного опциона. Уравнение (6) является в точности дифференциальным уравнением Блэка-Шоулза в спецификации для валютных опционов. Следовательно, если решить его с помощью замены переменных можно получить модифицированную формулу Блэка-Шоулза. Однако цель данной работы заключается в том, чтобы решить это уравнение другим способом - методом Фурье. При этом, решая уравнение (3) мы не будем исключительно ограничиваться представленными выше спецификациями функций сноса и волатильности.

1.2    Метод разделения переменных

Метод Фурье, по-другому называемый методом разделения переменных, является одним из наиболее старых методов решений дифференциальных уравнений. Им можно решать задачи, описываемые линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Уравнения (3) и, соответственно, (6) относятся именно к такому типу уравнений. Суть метода заключается в том, что мы ищем частное решение уравнения в виде произведения двух функций разных аргументов. Применительно к нашей задаче это означает, что одна часть искомого решения будет зависеть только от времени, а другая часть будет зависеть исключительно от финансовой переменной - валютного курса.

В книге Зайцева и Полянина приведена следующая схема решения дифференциального уравнения методом разделения переменных:

)        Дана исходная задача - уравнение с частными производными с начальными и граничными условиями.

2)      Ищем частное решение в виде произведения двух функций от разных аргументов, полагая, что .

)        Приходим к уравнению:

)        Обе части уравнения мы приравниваем к константе -l и получаем уравнения: , .

)        Дальше мы ищем решение первого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям. Мы имеем задачу на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля). Находим собственные значения ln и собственные функции , где n=1,2…

)        Решаем обыкновенное дифференциальное уравнение для T(t) и находим решения , соответствующее собственным значениям l=ln.

)        Ищем общее решение в виде ряда  и, таким образом, мы получаем решение исходной задачи.

Особенность применения данной схемы к нашей задаче заключается в том, что мы имеем только начальное (конечное) условие -, однако граничные условия не были заданы.

Граничные условия определяют поведение искомой функции на концах области определения аргумента. В нашем случае аргументом (x) является валютный курс. Теоретически он может принимать значения от 0 до +¥. Очевидно, что наша искомая функция (функция выплат или функция цены опциона), как и ее составляющая, зависящая только от x, будет равна 0 в том случае, если x=0.

Принимая во внимание такое явление как гиперинфляция, ситуация, когда валютный курс стремится к 0, выглядит достаточно правдоподобной, хотя в реальности он никогда не достигнет 0. Однако для того чтобы задать второе граничное условие, необходимо в качестве верней границы аргумента взять конкретное число.

Поэтому возникает проблема: как выбрать верхнюю границу области определения, а также как определить, чему равна искомая функция в данной точке?

Можно задать верхнюю границу и условие как x=l, F(l)=0, где l - некоторое число, но в настоящей работе мы не будем решать эту проблему и не станем задавать граничные условия. Постараемся решить исходную задачу без них, внося некоторые изменения в схему решения, изложенную выше.

1.3    Решение исходной задачи методом Фурье.

Будем решать уравнение (6) проведя в нем замену

,: .