Дипломная (вкр): Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов

Воспользуемся уравнением парной линейной регрессии вида:

,

где t - период, y - оценки по Блэку-Шоулзу, x - оценки на основе полиномов, b - искомый коэффициент регрессии, a - константа, чье значение примем равным 0, e - ошибка модели. Тогда с помощью метода наименьших квадратов найдем b. b=1.693, R^2=0.869. Теперь примем значение константы C равным значению b, и подставим в формулу

,

Следовательно, получим новый результат и представим его графически:

График 6

Как видно из графика 6, результаты, которые были найдены на основе двух разных способов, стали еще ближе. Оценки по Блэку-Шоулзу по-прежнему более волатильны: =51%>=22% . Имеет смысл рассчитать разность между полученными результатами:

График 7

На графике 7 изображена выборка для разности между новыми оценками и результатами, найденными по формуле Блэка-Шоулза. Тогда можно проверить гипотезу о равенстве ее генеральной средней 0 при неизвестном значении генеральной дисперсии. Следовательно, имеем:(нулевая гипотеза): , (альтернативная гипотеза): . В основе проверки данной гипотезы лежит статистика

где S - стандартное отклонение, исследуемой выборки, - ее среднее значение, а n - это количество наблюдений равное 116. Данная статистика имеет распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы. Проверим нулевую гипотезу на уровне значимости Наблюдаемое значение статистики равно:

Рассчитаем критическое значение статистики:

где St - распределение Стьюдента. Поскольку , то можно сделать вывод что на уровне значимости гипотеза :  не отвергается. Следовательно, есть основания утверждать, что в среднем теоретическая стоимость валютного опциона колл, оцененная по формуле Блэка-Шоулза, равняется теоретической стоимости, найденной с помощью ортонормированных полиномов, умноженной на отличную от 0 константу:

Данное утверждение справедливо только в том случае, если страйк равняется текущему валютному курсу.

В следующем подразделе, представленном ниже, мы рассмотрим случаи, когда опцион находится “в деньгах” “и вне денег”. Но поскольку таких ситуаций может быть бесконечно много, статистический анализ не будет проведен. Изложенная ниже информация всего лишь иллюстрирует некоторые возможные варианты.

3.2    Опционы “в деньгах” и “вне денег”

Покажем вначале какие значения будет принимать теоретическая стоимость опционов в случае, если страйк будет не намного меньше, чем текущий валютный курс. В качестве примера рассмотрим ситуацию, когда цена исполнения будет на 5 центов меньше, чем спот курс:

График 8

Из гравика видно, что оценки опционов, найденные по формуле Блэка-Шоулза, также значительно превышают оценки, которые были получены с помощью полиномов. Однако оба процесса ценообразования опционов по-прежнему имеют похожую динмаику. Это позволяет предположить, что результаты по Блэку-Шоулзу в среднем равняются оценкам теоретической стоимости опциона, найденным на основе ортонормированных многочленов, умноженным на некоторую константу.

Любопытным является то, что в конце рассматриваемого периода, как видно из графика 8, некоторые теоретические значения стоимости опционов оказались меньше, чем внутренняя стоимость - 5 центов. Приведенный выше факт, несомненно, требует логического объяснения, однако это не является целью настоящей работы - будем считать, что оба исследуемых метода - формула Блэка-Шоулза и полиномиально разложение в ряд иногда дают сбои. Ситуация, когда страйк существенно ниже спот курса (на 30 центов), является примером подобного сбоя:

График 9

График 9 показывает, что практически все значения стоимости опционов, оцененные по формуле Блэка-Шоулза оказались меньше, чем внутренняя стоимость - 30 центов. Подобный результат не является правдоподобным, поскольку временная стоимость не может быть отрицательной, а значит цена опциона всегда больше, либо равна его внутренней стоимости.

Принимая во внимание факт, изложенный выше, результаты, полученные с помощью полиномов, оказались более правдоподобными. Однако это не свидетельствует о том, что данный способ получения теоретической цены опционов является лучшим по сравнению с моделью Блэка-Шоулза. Дело в том, что оценки стоимости опционов, найденные с помощью полиномов могут принимать отрицательные значения:

График 10

На графиках 10 и 11 показаны ситуации, когда опцион находится ”вне денег”: страйк превышает спот курс на 5 и 20 центов соответственно. С увеличением страйка, стоимость опциона колл достаточно быстро стремится к 0. Поэтому качество представленных выше результатов оставляет желать лучшего: оценки по Блэку-Щоулзу получились слишком большими (график 11), а оценки, найденные с помощью полиномов, оказались отрицательными, особенно это заметно на графике 11.

Неправдоподобно большие оценки стоимости опционов, найденные по формуле Блэка-Шоулза, по всей видимости, можно объяснить высокой волатильностью валютностью валютного курса, которая наблюдалась в некоторые моменты времени за рассматриваемый период. Что касается результатов, полученных с помощью полиномов, то некоторые из них оказались отрицательными (хотя и близкими к 0), скорее всего, потому, что взятых 10 полиномов было недостаточно в данной ситуации для корректного представления общего рещения. Одкако рассчет полиномов выше десятого порядка требует довольно много времени и существенной вычислительной мощности.

Исходя из информации, изложенной выше, оценки опционов по Блэку-Шоулзу и, полученные с помощью полиномов, оказались достаточно похожими друг на друга (в смысле совпадения трендов) только в случаях, когда страйк не намного (на 5 центов, например) отличается от спот курса - графики 8 и 10. Однако если цена исполнения существенно выше или ниже текущего валютного курса, различия могут оказаться значительными (график 9). Таким образом, с уверенностью можно утверждать только то, что лишь в ситуации “при своих” с учетом определенной константы оценки теоретической стоимости опционов, полученные двумя разными способами, в среднем окажутся равными.

Заключение

Итак, в настоящей работе были проанализированы два способа оценивания теоретической стоимости валютного опциона: по формуле Блэка-Шоулза и с помощью полиномов, полученных из уравнения Дынкина. Суть второго способа заключается в том, чтобы, разделив переменные, решить дифференциальное уравнение второго порядка, находя частные решения в виде многочленов.

Общее рещение уравнения Дынкина, позволяющее оценивать стоимость опционов, было представлено как с помощью неортогональных полиномов, являющихся частными решениями этого уравнения с заданными спецификациями функций сноса и воластильности, так и с помощью ортонормированных многочленов, которым соответствуют другие спецификации данных функций. Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод о том, что теоретическая стоимость опционов, рассчитанная на основе неортогональных полиномов, имеет мало общего с действительностью - ее значения оказались неправдоподобно большими. Напротив, общее решение, найденное с помощью ортонормированных многочленов, достаточно хорошо соотносится как с реальностью, так и с оценками стоимости опционов, полученными с помощью формулы Блэка-Шоулза.

Проведенный сравнительный анализ позволяет утверждать, что в среднем теоретическая стоимость валютного опциона колл, оцененная по формуле Блэка-Шоулза, равняется теоретической стоимости, найденной с помощью ортонормированных полиномов, умноженной на отличную от 0 константу. Данный вывод является логичным, поскольку в основе обоих исследуемых способов нахождения теоретической цены опциона лежит одно и то же дифференциальное уравнение. Однако он однозначно справедлив только для ситуации, когда страйк равняется текущему валютному курсу. Что касается других случаев, то результаты могут существенно различаться. Причины этого, скорее всего, кроются в следующих проблемах:

)        Нахождение теоретической стоимости опционов с помощью ортонормированных полиномов - это не математически строгий способ, поскольку они не являются частными решениями исходного уравнения с конкретными спецификациями функций сноса и волатильности. Тем не менее, нельзя отрицать того факта, что ортонормированные многочлены были получены именно с помощью данных функций исходного вида. Следовательно, их можно использовать для получения общего решения.

)        Нахождение теоретической стоимости опционов с помощью ортонормированных полиномов - это весьма трудоемкий способ, требующий значительной вычислительной мощности и много времени. Поэтому очень проблематично находить большое число полиномов. Однако использованных 10 многочленов не всегда будет хватать - теоретическая стоимость опциона может оказаться отрицательной, если страйк существенно превышает спот курс.

)        По неизвестной причине значения оценок опционов, полученные как по формуле Блэка-Шоулза, так и с помощью полиномов, иногда оказываются ниже, чем внутренняя стоимость данных опционов.

Тем не менее, на основании изложенных выше проблем, нельзя сделать вывод, о том, что способ нахождения теоретической стоимости опциона с помощью ортонормированных полиномов является несостоятельным, поскольку полученные в настоящей работе результаты красноречиво свидетельствуют об обратном. Однако стоит попытаться решить данные проблемы в последующих исследованиях.

уравнение дынкин опцион шоулз

Список использованных источников

.     Балакин А. Б. Классически Ортогональные Полиномы. Казань: Казанский Государственный Университет, 2003.

.     Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Метод разделения переменных в математической физике. СПб.: Книжный Дом, 2009.

.     Канатников А. Н., Крищенко А. П. Линейная Алгебра. М.: МГТУ им. Баумана. 2002.

4.      Михатрян В. С. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие. М.: Маркет ДС, 2010.

5.      Степанов С.С. Стохастический Мир. 2009. - http://synset.com/pdf/ito.pdf

.        Bjцrk <http://www.amazon.com/s/ref=ntt_athr_dp_sr_1?_encoding=UTF8&field-author=Tomas%20Bj%C3%B6rk&search-alias=books&sort=relevancerank> T. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxrord University Press, 2003.

7.   Coupeland L. Exchange rates and international finance. Pearson Education, 2008.

8.      Hull J. Options, futures, and other Derivatives. Pearson Education International, 2009.

9.      Triennial Central Bank Survey of Foreign Exchange and Derivatives Market Activity, 2010. - <http://www.bis.org/publ/rpfxf10t.htm>

10. Voit J. The Statistical Mechanics of Financial Markets. Berlin, Springer-Verlag, 2005.

11.    http://www.cmegroup.com/trading/fx/g10/euro-fx_quotes_globex.html

12.    <http://research.stlouisfed.org/fred2/series/EXUSEU/downloaddata?cid=95>

.        <http://sdw.ecb.europa.eu/home.do>