Дипломная (вкр): Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов

Процесс Грама-Шмидта и метод моментов приводят в точности к одному и тому же результату. Однако в данной работе ортонормированные полиномы будут найдены с помощью моментов весовой функции, поскольку данный способ является менее громоздким. Кроме того, процесс Грама-Шмидта относится к численно неустойчивым алгоритмам - ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются при увеличении номера многочлена.

1.6   
Новое уравнение и итоговое общее решение

Как уже было отмечено выше, ортонормированные полиномы не являются частным решением исходного уравнения вида:

,.

Однако, возможно, существует такое дифференциальное уравнение второго порядка, решениями которого они бы являлись. Это уравнение обладало бы новыми спецификациями функций , и, следовательно, другими функциями сноса и волатильности. Тогда, имея новые ортонормированные полиномы, весовую функцию и старые собственные значения, можно попытаться найти уравнение, собственными функциями которого окажутся ортонормированные многочлены. Будет затруднительно сделать это в символьном виде, поскольку полученная весовая функция

является довольно громоздкой. Тогда попробуем получить новое уравнение, задав конкретные значения параметров p и k.

Возьмем в качестве примера реальные данные по условно безрисковым процентным ставкам США и зоны евро и по волатильности курса евро к доллару на конец первого полугодия 2003 года. Волатильность была рассчитана по формуле

,

на основе ежемесячных средневзвешенных данных по валютному курсу за предшествовавшие полгода, и равнялась 0.1548. Ставка по десятилетним казначейским облигациям США была равна 0.0353, а по десятилетним европейским облигациям - 0.0372. Тогда , . Теперь найдем конкретный вид уравнения (8) и весовой функции:

Тогда можно получить частные решения данного уравнения, а также ортонормированные полиномы по моментам весовой функции. Найдем собственные значения и первые десять многочленов, как старых, так и новых. Результаты приведены в таблице ниже:

Таблица 1

Как видно из таблицы, новые ортонормированные многочлены имеют более сложной вид, чем старые частные решения. Теперь с помощью ортонормированных полиномов и старых собственных значений можно получить уравнение вида:

или

 (18)

Если подставить известную нам весовую функцию , а также полином и соответствующее ему собственное значение  в уравнение (18), то получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной вида:

, где

, ,

Тогда решение этого дифференциального уравнения находится по формуле:

, где

Подберем такую константу C, чтобы выполнялось условие ортогональности:

 Þ

Это означает, что 2 и 0.5 должны являться корнями многочлена , или должно выполняться равенство . Тогда С= -0.0100396.

Учитывая константу C, подставляем в уравнение полученный ортонормированный полином первого порядка, соответствующее ему собственное значение и весовую функцию, получаем:

Тогда найдем по формуле:

Получаем новое уравнение и сравниваем его со старым:

Как видно из уравнений приведенных выше, спецификации функций и , а значит и функций сноса и волатильности () во многом похожи на первоначальную, но имеются серьезные отличия.

Однако ортонормированные полиномы старше первого порядка не являются решениями полученного выше уравнения при старых собственных значениях . Также не получится найти соответствующие им новые собственные значения по формуле:

поскольку функция больше не является многочленом второго порядка ( будет зависеть от x). Так оказалось потому что, чтобы выполнялось условие ортогональности, константа C должна иметь ненулевое значение. Данное условие будет выполняться и константа будет равна 0, тогда и только тогда, когда x будет определен на области от 0 до некоторого положительного числа (0 будет корнем многочлена , если C=0).

Значит, только на области определения [0;b] можно получить нужный нам вид функции , а также новое уравнения, частными решениями которого будут ортонормированные полиномы. Однако в данной работе используется область определения от 0.5 до 2, чтобы не возникало проблем с взятием определенного интеграла вида ,где j>0, j и с - константы. Следовательно, в сложившейся ситуации не удастся найти такое уравнение, для которого полученные ортонормированные полиномы будут являться частными решениями, хотя в принципе, если поменять область определения, это возможно.

Тем не менее, будем считать, что с помощью ортонормированных многочленов, можно получить оценку цены валютного опциона. Данное соображение имеет свою логику: ортонормированные полиномы мы находим по моментам весовой функции, которая, в свою очередь, зависит от исходных функций  и

Получив ортонормированные полиномы, составим из них общее решение таким же способом, как это было сделано для старых неортогональных собственных функций:

, где

Также можно представить общее решение в виде ряда из десяти первых полиномов (как правило, этого достаточно, чтобы оно не менялось и оставалось устойчивым)

Из всех функций, составляющих общее решение, не было задано лишь начальное условие. Для того чтобы его определить, необходимо знать тип производного финансового инструмента (опциона). Опционы бывают двух видов: на покупку (колл) и на продажу (пут). Опцион колл (пут) предоставляет право его владельцу купить (продать) базовый актив по заранее оговоренной цене исполнения (страйк - K) в определенный момент времени в будущем. Следовательно, если в момент исполнения (T) спот цена базового актива окажется выше (ниже) страйка, то опцион колл (пут) принесет прибыль в размере x-K (K-x), в противном случае он не будет исполнен. Тогда стоимость опциона колл в этот момент будет равна либо 0, либо разнице между ценой базового актива и ценой исполнения:

Начальное условие для опциона колл зададим как

где K - страйк, или как

Тогда перепишем формулу для весов в разложении:

Аналогично для опциона пут:

Подводя итоги данного раздела, еще раз перечислим основные моменты поиска общего решения, позволяющего оценить стоимость валютного опциона:

1)      Дана исходная задача - уравнение с частными производными второго порядка. Его параметризующие функции сноса и волатильности заданы как

 и ,

где x - валютный курс, k - разница безрисковых процентных ставок, а p - это волатильность.

2)      Ищем частное решение в виде произведения двух функций от разных аргументов, полагая, что

,

где  - это цена опциона.

3)      Разделяем переменные и находим, чему равняется часть искомой функции, зависящая от времени:

где t - время, измеряемое в годах, C - константа, l - собственное значение уравнения, зависящего от x.

4)      После разделения переменных получаем уравнение для x:

где , , ,  - внутренняя безрисковая процентная ставка.

5)      Решаем данное уравнение (задачу Штурма-Лиувилля), получая полиномиальные частные решения по формуле Родрига:

.

6)      Представляем общее решение исходного дифференциального уравнения (уравнения Дынкина) в виде ряда:

,

где - это веса в разложении.

7)      Проверяем частные решения на ортогональность и, в результате, приходим к выводу о том, что найденные полиномы не являются ортогональными. Следовательно, полученное общее решение, скорее всего, не позволит корректно оценивать теоретическую стоимость валютных опционов.

8)      С помощью найденной весовой функции находим ортонормированные полиномы и представляем общее решение в виде разложения в ряд, используя десять первых многочленов:

9)      Выбираем вид начального (конечного) условия в зависимости от типа производного финансового инструмента и получаем формулу для весов в разложении: для опциона колл -

, для пут - .

10)    Подставляем исторические данные по валютному курсу, а также по процентным ставкам и волатильности в общее решение. Получаем оценку теоретической стоимости валютного опциона!

2.     
Модель Блэка-Шоулза

В начале 70-х годов 20 века Фишер Блэк и Майрон Шоулз разработали знаменитую модель, позволяющую оценивать теоретическую стоимость опционов европейского типа. В ее основе лежали следующие предположения:

·        Рынок является полным и эффективным.

·        Транзакционные издержки равны нулю.

·        Все доходы облагаются налогами по одной и той же схеме, следовательно, налогообложение не играет роли.

·        Все участники рынка могут занимать и давать в долг деньги по безрисковой ставке.

·        Отсутствует арбитраж.

·        Короткая продажа разрешается без ограничений.

·        По базовому активу не выплачиваются дивиденды.

·        Цена подлежащего актива имеет логнормальное распределение - подчиняется геометрическому броуновскому движению.

Тогда динамика цены опциона описывается следующим дифференциальным уравнением второго порядка:

Решением данного уравнения является знаменитая формула Блэка-Шоулза для опциона колл:

для опциона пут:

,

где x - спот цена подлежащего актива, K - страйк,  - это кумулятивная функция стандартного нормального распределения:

,

,

Другими словами, - это вероятность, с которой случайная величина, подчиняющаяся стандартному нормальному распределению N(0,1), примет значение меньшее, чем d.

Приведем доказательство данной формулы, изложенное в книге Стохастический Мир. Решим уравнение Блека-Шоулза

с начальными условиями вида: . Сначала избавимся от множителей x при производных. Для этого перейдем к новой переменной . Учитывая и , получаем: