Дипломная (вкр): Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов

, где .

С помощью замены избавимся от члена с первой производной по y, где a и β - это некоторые константы:

.

Для того чтобы слагаемые, содержащие первую производную по y и члены, пропорциональные U, сократились, подберем нужные значения констант

,

Тогда получим уравнение теплопроводности:

Оно решается с помощью преобразования Фурье. Частным решением такого уравнения является функция:

Поскольку уравнение линейное, его общее решение является суммой частных решений, соответствующих различным значениям :

имеет смысл начального значения функции . С учетом проделанной замены начальное условие принимает следующий вид:

Тогда общее решение равно:

Нижний предел интегрирования дает функция max, которая отлична от 0 при . Теперь проведем замену :

В показателе экспоненты появляются выражения вида . Преобразуем их к эквивалентному виду . После замены общее решение становится равным:

,

, .

Проводя обратные замены , , получим формулу Блека-Шоулза для опциона колл.

Приведенное выше дифференциальное уравнение и его решение в виде формулы позволяет оценивать теоретическую стоимость опциона, в основе которого лежит актив, не приносящий доход (дивиденды) в течение всего срока до момента исполнения. Однако с помощью него нельзя оценить стоимость валютного опциона, поскольку базовый актив - это иностранная валюта. Данный актив будет приносить доход, если вложить сумму в иностранной валюте под процент равный безрисковой ставке в другой валютной юрисдикции. Тем не менее, валютный опцион можно оценить с помощью модели Блэка-Шоулза, если внести небольшие изменения. Тогда дифференциальное уравнение второго порядка будет выглядеть следующим образом:

Это в точности то же самое уравнение - уравнение Дынкина в конкретной спецификации, которое было использовано в первом разделе данной работы. Его решение можно также представить в виде формулы Блека-Шоулза для валютных опционов:

,

,

,

Следовательно, если подставить реальные данные в формулу, приведенную выше, можно получить оценку теоретической стоимости валютного опциона.

3.     
Сравнение результатов модели Блэка-Шоулза и уравнения Дынкина

В предыдущих разделах данной работы было приведено описание двух разных способов нахождения теоретической цены валютных опционов. В то же самое время, в основе обоих методов лежит одно и то же дифференциальное уравнение. Поэтому, скорее всего, результаты не должны сильно отличаться. Для того чтобы проверить это предположение, необходимо на основе реальных данных получить оценки стоимости валютных опционов, как с помощью формулы Блека-Щоулза, так и с помощью представления решения уравнения Дынкина в виде ряда полиномов, умноженных на соответствующие веса в разложении и функцию, зависящую от времени - T(t).

В настоящей работе будет оценена теоретическая стоимость европейских колл опционов для валютной пары евро доллар. Для того чтобы сделать это были использованы следующие данные:

-       данные по валютному курсу были получены из статистических источников Федерального резервного банка Сент-Луиса.

-       в качестве безрисковых процентных ставок были взяты доходности в годовом выражении по десятилетним казначейским облигациям ФРС США и по десятилетним европейским облигациям. Информация была получена из статистических источников Европейского центрального банка и Федерального резервного банка Сент-Луиса.

-       волатильность была рассчитана по формуле стандартного отклонения на основе месячных данных курса евро к доллару за полгода.

Как уже было сказано выше, решение уравнения Дынкина, позволяющее оценить стоимость опциона, можно получить с помощью неортогональных полиномов, которые являются его частными решениями. Используя выбранный массив данных, найдем теоретическую цену для опциона со сроком исполнения полгода и страйком, который равняется текущему валютному курсу. Представим полученный результат графически:

График 2

Как видно из графика, оценки стоимости валютного опциона, рассчитанные с помощью неортогональных полиномов, получились неоправданно высокими. Крайне маловероятной является ситуация когда, цена опциона может быть сравнимой и даже превышать цену базового актива. Однако на графике мы видим именно это: теоретическая стоимость опциона находится в диапазоне от 0 до 2 долларов за контракт на покупку одного евро, в то время как за рассматриваемый период валютный курс колебался в диапазоне от 1.1 до 1.6 долларов за евро. Следовательно, решение уравнения Дынкина, полученное на основе неортогональных полиномов, имеет мало общего с действительностью. Поэтому в настоящей работе будут рассмотрены только результаты, полученные с помощью ортонормированных многочленов, являющихся частными решениями дифференциального уравнения со спецификациями функций сноса и волатильности отличными от исходных.

Прежде чем сравнивать теоретические цены опционов, найденные с помощью разложения общего решения в ряд по ортонормированным многочленам и по формуле Блэка-Шоулза, стоит сказать о том, как влияет спот цена (текущее значение валютного курса), страйк и время до момента исполнения на стоимость опциона.

Прибыль, которую приносит опцион колл, описывается выражением , где  - это цена базового актива в момент исполнения. Следовательно, доход от опциона, а значит и его цена формально не зависят от спот цены базового актива. Однако считается, что ценовой процесс является мартингалом, то есть предполагается, что в среднем цена не изменяется. Это значит, что лучшим прогнозом ее будущего значения будет ее текущее значение . Тогда считаем, что . Поэтому в формулу Блэка-Шоулза и в ортонормированные полиномы подставляется значение именно спот цены. Принимая во внимание выражение , становится очевидным, что она положительно влияет на стоимость опциона, в то время как страйк влияет отрицательно.

Что касается времени, то оно также положительно влияет на стоимость опциона. Это объясняется простым соображением - чем ближе момент исполнения, тем меньше неопределенность относительно будущей цены актива. И наоборот - чем больше осталось времени, тем выше неопределенность, а значит и риск. Следовательно, цена за опцион будет выше.

Стоимость опциона определяется как сумма его внутренней стоимости и временной стоимости. Внутренняя стоимость является разницей между будущей ценой актива на момент исполнения и страйком: . Если эта разница отрицательна, то внутренняя стоимость равна 0, поскольку опцион не будет исполнен. Временная стоимость, представляет собой надбавку к внутренней стоимости опциона за счет неопределенности значения цены актива в будущем. Она не может быть отрицательной и равняется 0 в момент исполнения. Кроме того, она стремится к 0 при увеличении цены актива или при снижении страйка. Когда цена подлежащего актива равняется цене исполнения, временная стоимость опциона принимает максимальное значение.

Что касается страйка, то с ним тесно связано такое понятие как денежность опциона. В зависимости от денежности возможны три ситуации:

)        опцион “в деньгах” (in the money) - цена спот выше, чем страйк -

)        опцион “при своих” - цена равна страйку -

)        опцион “без денег” - цена актива меньше, чем страйк -

Рассмотренные выше ситуации показаны наглядно на рисунке:

Рисунок 1

Поскольку в зависимости от соотношения страйка и текущей цены актива существуют три различные ситуации, будет целесообразно провести сравнение теоретических цен опционов, полученных с помощью разложения общего решения в ряд по ортонормированным полиномам и по формуле Блэка-Шоулза для трех различных случаев.

Тем не менее, можно показать, какой будет оценка теоретической стоимости опциона при любых значениях страйка. Для этого рассмотрим конкретное наблюдение, а не весь массив данных. Возьмем для примера процентные ставки и значение валютного курса (равняется 1.312) на конец 2012 года. Тогда представим графически зависимость оценок стоимости опционов, полученных по формуле Блэка-Шоулза и с помощью полиномов, от различных значений страйка:

График 3

Как видно из графика, результаты получились очень близкими, практически одинаковыми. Однако оценки стоимости опциона по Блэку-Шоулзу, оказались меньше, чем рассчитанные с помощью полиномов в случае, когда спот курс (1.312 доллара за евро) существенно (20-30 центов) превышает страйк. Напротив, их значения получились большими в ситуации, когда страйк несильно отличается от текущего курса. Кроме того, любопытно то, что при высоких значениях страйка теоретическая стоимость опциона, полученная с помощью ортонормированных полиномов, оказалось отрицательной. Данный факт будет объяснен в дальнейшем.

3.2 Опционы “при своих”

Вначале рассмотрим результат, полученный с помощью ортонормированных полиномов по формуле , и покажем, что первых десяти многочленов вполне достаточно для представления общего решения.

График 4

Как видно из графика, восемь, десять и одиннадцать первых многочленов практически одинаково представляют общее решение, однако в случае, когда были использованы 11 полиномов, в 2006 году наблюдается нехарактерный пик. Поэтому ограничимся только 10 первыми полиномами.

Теперь сравним теоретическую стоимость опционов, рассчитанную двумя разными способами. Представленные ниже результаты были получены для опционов со сроком исполнения полгода. Такой период времени был выбран потому, что волатильность была рассчитана за 6 месяцев. Дело в том, что существует общее правило, согласно которому целесообразно оценивать стоимость контракта с таким периодом исполнения, который равняется количеству времени, использованному для расчета волатильности.

График 5

На графике 5 представлены две группы данных: оценки стоимости опционов, полученные с помощью ортонормированных полиномов; оценки, рассчитанные по формуле Блэка-Шоулза. В целом оба графика (процесса) довольно похожи - их тренды совпадают: большей теоретической стоимости опциона по Блэку-Шоулзу соответствует более высокое значение цены опциона, рассчитанной с использованием полиномов. Коэффициент корреляции между двумя группами данных составляет 93%, что свидетельствует о тесной положительной взаимосвязи.

Оценки стоимости опционов, найденные с помощью формулы Блэка-Шоулза, оказались существенно больше, чем полученные с помощью полиномов. Среднее значение для первых равняется 4.65 цента за контракт, в то время как для вторых - 2.9 цента. В целом данные результаты являются весьма правдоподобными. Так, например, цена валютных колл опционов на евро доллар со сроком исполнения полгода и страйком близким к спот курсу, торгуемых на Чикагской бирже опционов, лежит в диапазоне от 2 до 3 центов за один евро.

Таким образом, теоретическая премия по опциону, получаемая на основе модели Блека-Щоулза, оказалась в среднем на 1.75 цента больше, чем премия, найденная на основе ортонормированных многочленов.

Кроме того, из графика видно, что результаты, найденные с помощью модели Блэка-Шоулза, являются более “волатильными”, чем те, которые были получены с помощью полиномов. Чтобы проверить данный факт, воспользуемся коэффициентом вариации, поскольку, очевидно, что средние значения для двух групп полученных результатов не равны. Рассчитаем данный показатель по формуле: , , где индексы БШ и П обозначают принадлежность к результатам, полученным на основе формулы Блэка-Шоулза и полиномов соответственно, σ - среднеквадратическое отклонение, - среднее значение. Тогда =51%, =22%. Коэффициент вариации - это мера относительного разброса переменной, показывающая, какую долю среднего значения этой переменной составляет ее средний разброс. Следовательно, доля среднего разброса в среднем значении оценок, найденных по Блэку-Шоулзу, практически в 2,5 раза больше, чем аналогичный показатель для оценок стоимости опционов, полученных с помощью полиномов.

Приведенный выше результат относится только к ситуации “при своих”. Тот факт, что стоимость опциона, найденная с помощью формулы Блэка-Шоулза, оказалась систематически выше стоимости, оцененной на основе полиномов, требует дополнительной проверки. Дело в том, что, теоретически, не только процессы ценообразования опционов, полученные из модели Блэка-Шоулза и с помощью ортонормированных полиномов должны быть похожи, но и конкретные значения оценок теоретической стоимости опционов должны быть примерно равны. Данное предположение обуславливается тем, что в основе обоих методов лежит одно и то же дифференциальное уравнение.

В формуле оценки стоимости опционов, получаемой с помощью полиномов, присутствует константа, значение которой было принято равным единице:

,

Тем не менее, ее значение можно выбрать произвольным. Тогда будет целесообразно задать константу таким образом, что оценки стоимости опционов, полученные с помощью полиномов, оказались максимально близки к оценкам, найденным по формуле Блэка-Шоулза.