Дипломная (вкр): Применение оператора Дынкина к оценке валютных опционов

Представив решение в виде , и разделяя переменные, получим:

 (7)

Сначала решим дифференциальное уравнение для T(t):

ÞÞ,

где С - константа, которую будем считать равной 1.

Таким образом, мы нашли вид функции, зависящей от времени, и теперь будем решать дифференциальное уравнение для X(x). Проведем замену , получая новый вид собственных значений, и перепишем уравнение (7):

 (8)

Проводя замены - и , приведем уравнение (8) к операторной форме:

 (9),

,

Если задать линейные однородные граничные условия в виде:

 где  (10),

то уравнение (9) вместе с граничными условиями (10) представляет собой задачу на собственные значения. Чтобы ее решить необходимо найти собственные значения и соответствующие им собственные функции , которые являются частными решениями исходного уравнения.

1.4    Решение задачи на собственные значения.

Пусть и - это линейно независимые частные решения уравнения (9). Тогда общим решением этого уравнения является линейная комбинация: (11), где C1 и C2 - это произвольные константы. ”Подставим решение в граничные условия. В результате для определения коэффициентов получим линейную однородную алгебраическую систему”:

 (12)

Чтобы полученная система имела нетривиальные решения, ее определитель должен быть равен 0. Решив ее, мы найдем собственные значения, а с помощью них - собственные функции.

Как правило, дискриминант характеристического уравнения меньше 0 и частные решения в этом случае будут представлены в виде тригонометрических функций - косинусов и синусов. Следовательно, если решать исходное уравнение таким способом, то можно представить его общее решение в виде ряда тригонометрических функций.

Стоит также привести информацию, касающуюся свойств собственных значений:

-       Существует бесконечное счетное множество собственных значений.

-       Все собственные значения … являются вещественными и при .

-       Каждое собственное значение единственно.

-       Каждому собственному значению соответствует с точностью до постоянного множителя лишь одна собственная функция.

-       Система собственных функций … ортогональна на области определения x - с весовой функцией W(x) (их скалярное произведение равно 0):

 при n≠m.

Как уже было сказано выше, мы не будем задавать граничные условия. Поэтому нет смысла представлять общее решение в виде уравнения (11) и приходить к системе (12). Можно найти собственные функции в виде полиномов, причем условие ортогональности собственных функций с весовой функцией W(x) должно выполняться.

Уравнения (8) и (9) являются задачей Штурма-Лиувилля, кроме того, функции Q(x) и L(x) являются многочленами первого и второго порядка соответственно. Тогда частные решениями уравнения (9) можно получить в виде многочленов (полиномов) по формуле Родрига:

 (13)

Для собственных значений  также существует формула:

Тогда собственные значения получаем из уравнения: .

Следовательно, мы можем представить общее решение уравнения (6) в виде суммы следующего ряда:

 (14)

В данном уравнении вид функций и  нам уже известен, n - это номер соответствующего многочлена и собственного значения. Так как существует бесконечное число собственных функций задачи (9), то мы можем разложить в ряд искомую функцию по любому, сколь угодно большому количеству полиномов, при этом данный ряд является абсолютно сходящимся. Как правило, чтобы с высокой точностью получить значение функции , нам будет достаточно взять 10 первых многочленов (nmax=10) В формуле (14) присутствуют постоянные коэффициенты , которые представляют собой веса в разложении искомой функции по собственным значениям.

Для того чтобы определить мы воспользуемся начальным условием  и подставим в него ряд (14). В результате получим:

“Умножим обе части этого равенства на  и проинтегрируем полученное выражение по x на отрезке . Учитывая свойство ортогональности собственных функций, находим коэффициенты”:

, (15)

Таким образом, для того чтобы получить оценку опциона (подставив реальные данные по ставкам и т.д.) нам остается только задать область определения x и конкретный вид начального условия. Но прежде чем сделать это, необходимо проверить ортогональность собственных функций.

Мы хотим представить общее решение в виде разложения по базисным функциям. Для того чтобы оно было наиболее близким к искомой функции, базис должен быть ортогональным. Следовательно, собственные функции (полиномы) уравнения (13) должны быть ортогональны с весовой функцией W(x). Полиномы, получаемые по формуле Родрига, будут ортогональными, если выполняется следующее условие:

 (16)

Весовая функция определяется следующим выражением:

 и , получим

.

.

Следовательно, мы приходим к уравнению:

 (17)

Несмотря на то, что собственные функции  не являются ортогональными, они, тем не менее, представляют собой частное решение: подставляя полиноми соответствующее ему собственное значение  в уравнение (8), мы получим тождественный 0. Это значит, что мы сможем представить общее решение в виде ряда, но, как уже было сказано выше, оно вряд ли нам подойдет.

Можно попытаться справиться с данной проблемой, если построить новые ортогональные полиномы (получить ортогональный базис) из старых, с помощью процесса Грама-Шмидта, или используя моменты весовой функции. Однако полученные новые многочлены уже не будут являться частными решениями исходной задачи, зато они могут оказаться решениями уравнения, похожего на уравнение (3), но уже с другими спецификациями функций сноса и волатильности (изменится вид и).

Следовательно, можно получить это “новое” решение, считая его наилучшим приближением к решению нашей первоначальной задачи.

1.5    Весовая функция и ортонормированные полиномы

Чтобы получить ортогональные собственные функции, а также определить веса в разложении, необходимо задать область определения финансовой переменной. Как уже было сказано, теоретически валютный курс может принимать значения в интервале от 0 до +¥. Что касается весовой функции, то уравнение (9) останется неизменным по форме, если совершать с ней масштабные преобразования вида , где k - ненулевая константа. Тогда представим ее в виде . Учитывая, что k может быть меньше 0 (разность процентных ставок отрицательна), можно будет взять определенный интеграл вида  при любых значениях k, только если a и b - это определенные константы, причем a>0.

В настоящей работе будет оценена стоимость опционов для валютной пары евро доллар. Поэтому, чтобы задать конкретные значения a и b, посмотрим на график исторического курса евро к доллару:

График 1

График, приведенный выше, построен на основе ежемесячных средневзвешенных данных. Он показывает, что минимальное значение котировки валютной пары было около 0.8, а максимальное - около 1.6. Тогда для удобства в качестве верхней границы валютного курса евро доллара возьмем значение равное 2, а в качестве нижней - значение равное 0.5. Следовательно, задав область определения подобным образом, можно без труда находить определенные интегралы от произведений весовой функции на полиномы.

Формула (16) для весов в разложении по собственным функциям представляет собой деление скалярного произведения полинома с весовой функцией и начального условия на квадрат нормы соответствующего полинома, которая определяется выражением

Можно упростить вычисления и избежать нормировки, если получить ортонормированные полиномы. Это можно сделать двумя способами: с помощью процесса Грама-Шмидта, и по моментам весовой функции. Оба данных метода будут изложены ниже.

Вначале рассмотрим процесс Грама-Шмидта. Пусть - некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве e. Модифицируя этот базис, построим новый базис , который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы  и,  и  и т.д. по формулам”:

,

,

,

,

В нашем случае векторы ,,являются функциями, где - это старые полиномы, а - это искомые ортонормированные полиномы. Скалярное произведение  определяется следующей формулой:

.

Прежний полином нулевого порядка, получаемый по формуле Родрига, равняется единице. Следовательно, норма  тоже равна 1. Так как

,

определенный интеграл от весовой функции на заданной области определения должен равняться 1. Значит наша весовая функция, фактически, является функцией плотности вероятности с площадью под кривой равной единице на интервале [0.5;2]. Найдем ее конкретный вид:

, где a - это константа, Þ

ÞÞÞ

Таким образом, была получена весовая функция в конкретной спецификации, которая будет использован в дальнейшем. Теперь можно воспользоваться вторым способом - построить ортонормированные полиномы на ее моментах.

Весовая функция, заданная на интервале от a до b, однозначно определяет полином с точностью до нормировочного множителя. Тогда для этого полинома справедливо следующее явное выражение:

,

где - это нормировочный множитель,  - момент весовой функции W(x). Матрица моментов по-другому называется матрицей “Гамбургера”, что касается нормировочного множителя, то в него входят две матрицы Ганкеля: