Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

ное сближение обеих форм. Значению параметра р. = р** соответствует

форма Г с одной узловой точкой на интервале 0 <3~ - << 1.

Следовательно, при определении минимальных критических скоро­

метод Галер кина дает весьма надежные результаты. Вид закрепления торцов оболочки существенно влияет на величину минимальной крити­ ческой скорости флаттера. Применение точного решения системы урав­ нений возмущенного движения позволяет определять собственные ча­ стоты и формы колебаний, а также исследовать устойчивость замкнутых круговых цилиндрических оболочек в потоке газа для достаточно ши­ рокого класса граничных условий на торцах оболочки.

ном направлении обнаруживается второй минимум критической ско­

рости р**, отвечающий большому числу полуволн по длине оболочки,

причем (А*# <1 [351. Величину этого минимума при свободно опер­ тых торцах оболочки в случае п = 2 можно определить по приближенной формуле [35], которая в принятых выше обозначениях будет иметь вид

Формула (59), как указано в работе [35], справедлива при

Минимальные критические скорости флаттера цилиндрической оболочки конечной длины впервые были определены в работе [69]. Эта задача рассматривалась затем в работах [19, 35, 83, 90].

Дополнительные библиографические указания. Оценка влияния тан­ генциальных сил инерции на критические скорости флаттера цилиндри­ ческих оболочек дана в статье [69 ]. Осесимметричный флаттер цилиндри­ ческих оболочек исследован в работах [37, 50]; балочной форме флат­ тера оболочки посвящена работа [63]. Влияние начальных усилий в срединной поверхности учтено в работе [70]. Флаттер цилиндрических панелей рассмотрен в работах [61, 90].

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА

Предварительные замечания. Решение задач об устойчивости пла­ стинок и оболочек в потоке газа в линейной постановке дает возможность определить лишь критические скорости, а также минимальные толщины панелей, необходимые для предотвращения флаттера или дивергенции. Вопросы об определении амплитуд флаттера (амплитуд предельного цикла автоколебаний), амплитуд выпучивания, о поведении панели при установлении предельного цикла автоколебаний остаются откры­ тыми. На эти вопросы ответ может дать только решение соответству­ ющей нелинейной задачи. Следует отметить, что критические скорости

нели; р — давление, подсчитывают по формуле (II) или по ее линеари­ зированному варианту.

Методы сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ввиду сложности исходных уравнений точного решения в замкнутом виде получить не удается. Возможны лишь различные приближенные подходы. Наиболее эффективный подход основан на применении метода Галеркина [9] и его модификаций. В результате задача сводится к ис­ следованию системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Полученная бесконечная система усекается, и дальнейшее исследование проводят для усеченной системы.

Один из методов сведения к обыкновенным дифференциальным урав­ нениям состоит в следующем. Выражение прогиба ш (х, у, /) пред­ ставляют в виде ряда по координатным функциям, удовлетворяющим условиям для прогиба

Поскольку условия совместной работы панели с подкрепляющей конструкцией очень сложны, условие для функции усилий в срединной поверхности можно формулировать «в среднем», требуя, чтобы осреднен-

Функцию усилий ищут в виде двух слагаемых, одно из которых является однородной квадратической функцией координат, а второе — соответствующим образом выбираемым частным решением уравнения совместности. Коэффициенты квадратической функции определяют, исходя из требования удовлетворения осредненных условий (68). После нахождения функции усилий требуем, чтобы первое уравнение, коротко записанное в виде Р (ю, Ф) = 0, после подстановки в него ряда (67) и выражения для функции усилий удовлетворялось в смысле метода Галеркина

Если в качестве координатных функций взять формы малых соб­ ственных колебаний панели с собственными частотами П/, то система (69) примет вид

Другим методом сведения задачи к системе типа (70) является непо­ средственное применение метода Галеркина не только к уравнению движения, но и к уравнению совместности. Этот метод удобен, например, когда для функции Ф поставлены следующие граничные условия:

а2Ф

ах2

В случае двучленного приближения для прогиба (67) система (70) может быть записана в виде

здесь введены безразмерные величины

и, кроме того, предположено, что 0 = 0 . Значения коэффициентов урав­ нения (72) для плоской изотропной панели можно найти в работе [16] в случае применения поршневой теории, а для случая применения линеа-

нок, имеющих защемленные стороны, значения коэффициентов си­ стемы (72) приведены в работах [40, 41]. Цилиндрическая панель, опер­ тая на прямоугольный в плане контур, рассмотрена в работах [53, 55]. Панели, бесконечные по размаху, рассмотрены в работах [8, 66]. Коэффициенты системы (72) для ортотропных и трехслойных пластин можно найти в работах [1, 2, 3].

Температурное выпучивание панелей. Панель, обтекаемая потоком газа, подвергается аэродинамическому нагреву и может выпучиться [13, 18]. Рассмотрим случай, когда поведение панели описывается системой (72). Статические конфигурации панели определяют из этой системы при условии, что ф/ не зависит от времени. В случае, когда й] Ф 0, система не допускает нулевого решения. Вообще говоря, коэф­ фициенты ^/зависятот параметра температуры. Поэтому при изменении температуры будет изменяться величина прогиба панели. Другой слу­ чай реализуется, когда все = 0. В этом случае система допускает тривиальное решение, соответствующее первоначальной плоской форме панели. Исследование устойчивости этого решения показывает, что на плоскости параметров скорости р. и температуры 6 можно выделить область устойчивости плоской формы панели. Амплитуды выпучивания можно определить нахождением нетривиального ие зависящего от вре­ мени решения системы (72) и исследования устойчивости этого решения. Фактически осуществляемые амплитуды выпучивания соответствуют устойчивому решению.