Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Флаттер оболочек и криволинейных панелей		491
В формулах	(41) обозначено:
д. _	2п (ц ^ )
	Че
	( ^ ) ’	(42)
	\| Е/ — У \| ;	(42)
	\| Е/ — У \| ;
ц = Л > Л\| Л 1 ? - 1 \| ; М ,
	^0
при этом 1 п — одна из цилиндрических функций порядка п\ V =		-г-----
		к

фазовая скорость распространения упругой волны в оболочке; р и М г вычисляются для случаев внешнего и внутреннего обтекания подста новкой соответствующих скоростей или 1!е.

Используя граничные условия для потенциала скоростей и формулы дифференцирования цилиндрический функций, получим

1		*п		(М ,<			1);
1		*п
		Ц + - п		(ЛГ,		>	I);	(43)
		•>П
	Кп-1	п	(/И,	<	1);
	Кп	п	(/И,	<	1);
	Кп
_1_	п — реК		(М ,	>	1,	V < (I);
а*	я<»
а*
	л — РеК / е ,		(Л4, >		1,	V > У).		(44)

IЯ<2)

Вформулах (43) и (44) ^ п и ]\1п — функции Бесселя действительного аргумента первого и второго рода; / п и Кп — функции Бесселя чисто

мнимого аргумента первого и второго рода; и Н ^ — функции Ганкеля первого и второго рода. Все цилиндрические функции вычи

сляют для значения аргумента	г = р#.			комплексными. Можно
Коэффициенты а е при	1 оказываются
записать также	1п ~	Шп
1			('V >		У);
IV?

ае =	Ул +		IV	<	II).	(45)

	*п + Ш

Отделяя вещественные и мнимые части, представим коэффициентыае

в виде

ае = а* — *р 51§п (V — У),

' Х - л у ; .

' ю ч к г

^ ' р ; , ) 2 + ю 2 '

492	Т е о р и я а э р о ги д р о у п р у го с т и
Коэффициент	а* >> 0	характеризует		приведенную массу			газа;
р > О — коэффициент демпфирования.				и	Р приведено	в	работе
Вычисление коэффициентов щ,			ае> а*
[47]. Графики для коэффициентов			а* и р показаны на рис.			14 и 15.
Критические скорости потока, при которых оболочка теряет устой
чивость, можно	найти из	уравнения
V	V		1		(пфО).		(46)
		/ ______________
Ь	О * -О * - х ( Й - ^ ) а

/= 1 /

Если п = 0, то число членов в левой части уравнения (46) сокра щается до двух.

В уравнении (46) через Й* обозначены частоты свободных колеба ний оболочки в вакууме (у = 1, 2, 3). Им соответствуют компоненты векторов (1, т]у, |у), характеризующие формы колебаний,

т	(Р«а< + Р<Д») % . ..		1
*	р,А	> У1	1 + ^ + 1? '

При достаточно больших волновых числах п частота преимуще

ственно поперечных колебаний й х оказывается	значительно меньше
двух других частот. Пусть 0,\ < й^,	1; тогда уравне
ние (46) можно представить в виде
а? — а2— х (й — ш )2 = о,	(47)

Частоту преимущественно изгибных колебаний в вакууме опреде ляют по формуле ____

Флаттер оболочек и криволинейных панелей			493
где
		т = кК
Для нахождения критической	скорости	дивергенции в	уравне
нии (46) необходимо положить й =	0. Тогда	получим формулу
Если использовать упрощенное уравнение (47), то
У.			(49)

здесь VI — фазовая скорость распространения преимущественно изгибных волн при свободных колебаниях оболочки в вакууме

V!	01		л);
	к
Ы т . п ) - у 1 * + ? Г		1 — V11	ш3	(50)
Ы т . п ) - у 1 * + ? Г		с2	*(т 2 + л2)2	(50)
		с2	*(т 2 + л2)2

Так как параметр х также зависит от скорости потока У, то вычи сление критических скоростей дивергенции можно вести по форму лам (48) или (49) методом последовательных приближений. Возможен также графический способ решения [10].

Фазовая скорость распространения изгибных волн в вакууме будет минимальной при

•	г ( 2 \1/2
П11П	Рг & ( — \

Если т2 > л2, то для длин полуволн X, соответствующих минималь ной фазовой скорости, можно получить оценку

X «в 1,68 (ЛА)2.

Минимальная фазовая скорость приближенно составляет

У1* о , т ( ± . ± у .

Соответствующая частота

При внешнем обтекании	сверхзвуковым потоком (М = Л4Х> 1).
как следует из формул (44),	дивергенция оказывается невозможной.

494	Т е о р и я а э р о ги д р о у п р у го с т и
	Критические скорости флаттера при	1 с учетом аэродинами

ческого и конструкционного демпфирования е могут быть получены из уравнения

а? — «ей — Й2— X (8 — = 0 .

(51)

Скорость флаттера определяют как минимальную скорость потока, при которой появляются бегущие волны с нарастающей амплитудой. При этом среди частот О будут появляться частоты, имеющие отрица тельную мнимую часть.

Параметр % является сложной трансцендентной функцией скоро сти и и частоты Й. Поэтому для решения уравнения (51) целесообразно

		применить			критерий	Коши-
}—\ -----~и		Найквиста. В случае больших
	\ ±	чисел Мг, когда %может бь ть
		заменено простым асимптоти
		ческим		выражением,		пред
		ставляется			возможным полу
		чить оценки для критической
	Рис. 16	скорости			флаттера в	явном
		виде. Пусть числа				в отно
сительном
	движении газа и упругой		волпы	достаточно		велики
(М^ > 1)	и показатель изменяемости	п	в окружном направлении
достаточно	мал:	______

л « ЦК = к к У м \ — 1.

Используя для получения условий устойчивости критерий, анало гичный критерию Рауса-Гурвица, найдем следующее выражение для критической скорости флаттера бесконечно длинной цилиндрической оболочки [10]:

V* = Г, {т, п) ( 1 • (52)

Из формулы (52) видно, что влияние конструкционного демпфирова ния весьма существенно. Если отказаться от условия М 1 > 1 и прене бречь демпфированием, то для критической скорости получим фор мулу [15]:

1/. = ^ + *-

(53)

Необходимо отметить, что приведенные выше формулы критических скоростей получены для бесконечно длинной оболочки и могут не совпа дать с соответствующими формулами для конечной, хотя и весьма длин ной оболочки, так как здесь не учитывались условия отражения упругих волн от торцов оболочки.

Впервые задача об устойчивости бесконечно длинной цилиндрической оболочки в потоке сжимаемого газа была рассмотрена в работе [5]. Этому вопросу посвящены также работы [85, 87].

Коаксиальные бесконечно длинные круговые цилиндрические обо лочки. Уравнения возмущенного движения для двух коаксиальных упругих цилиндрических оболочек, между которыми течет поток идеального сжимаемого газа (рис. 16), получены в работе [29]. Более детально исследованы случаи, когда одна из оболочек является абсо лютно жесткой. При этом уравнения движения упругой оболочки после

Флаттер оболочек и криволинейных панелей

495

преобразований могут быть сведены к уравнениям вида (46). Формулы для коэффициентов уравнения (46) в данном случае можно взять из работы (30].

Критические числа М* = 1/*/с0 будут функциями чисел т и п. Зависимости М* = / (ш, п) при фиксированных значениях п могут иметь два минимума. Эти минимумы имеют место при волновых чи слах /п, близких к волновым числам, соответствующим минимальным скоростям распространения упругих волн по оболочке в вакууме.

Вычисления критических чисел для оболочек с параметрами 0,001 <4

< 4 - < 0 . 0 3 ,		0 ,3 3 ^ 4 2 - ^ 0 ,9 9 ;						1,01	(/?х	„ Я ,— радиусы
А					А 1	позво		А 1
коаксиальных оболочек)
ляют сделать		ряд выводов.					Во-
первых,	критическая				скорость
для указанных			диапазонов				не
зависит от того, какая из двух
границ	потока		(внешняя				или
внутренняя)		является			упругой.
Во-вторых,		для		не	слишком
тонких оболочек и при					о	,	не

слишком	близком			к	А1
					единице,
критическая		скорость			для		бес
конечно	длинной			цилиндриче
ской оболочки, обтекаемой с на
ружной	стороны			потоком		газа,
может быть определена					по фор			фазовая скорость		распространения
муле (53), где			— минимальная
упругих	волн по оболочке в вакууме при п= 0. В-третьих, для доста
точно тонких оболочек критические скорости									записывают в виде
								_р»Л_	\ 2	(54)

рЯу^о /

здесь V*2 — минимальная фазовая скорость распространения упругих волн по оболочке в вакууме при п = 2, а параметр а 0 определяют по формуле

1 I 1 + Х "4 ао = о" 1 — X-4

Итак, критические скорости для коаксиальных оболочек, одна из которых является абсолютно жесткой, в указанном выше диапазоне

параметров -75- и -=^-, можно вычислять по формулам (53) и (54). Из

АА х

двух полученных значений А1+1 и М *2 следует брать меньшее. Круговые цилиндрические оболочки конечной длины. При определе

нии критических скоростей флаттера		достаточно тонких оболочек (по
крайней мере, при	о	использовать	основные соотно
	> 100) можно
шения технической	теории тонких оболочек [69].		В этом случае для

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры