Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
Квазистатические методы статистической динамики |
521 |
нагрузка задана с точностью до одного параметра а неправильности — с точностью до одного параметра и, формула (9) принимает вид [3, 4]
р \ и ш ) |
д_иш I |
|
Р (<7*) = |
дя* I |
(13) |
|
Переиормировочный множитель в знаменателе учитывает то обстоя
тельство, |
что |
«хлопок» |
возможен |
определенном диапазоне |
изменения |
параметра ин <±и<^ ив. |
о) |
||
Здесь <7к и <7д — нижнее |
и верхнее |
|||
критические |
значения |
нагрузки |
|
|
соответственно. |
|
|
||
Значения математического ожидания ^ вычисленные для симме тричного нормального распределения параметра и при среднем квадра тическом значении а и =0,1Л и аи — 0.25Л (к — толщина панели), приведены в табл. 1. Имеет место удовлетворительное совпадение вы численных значений и тех данных, которые обычно приводят экспери ментаторы. Дальнейшее изучение теоретических законов распределения критических сил было выполнено Б. П. Макаровым (21—231. Он рас смотрел различные случаи нагружения оболочек, использовав при этом известные результаты решения соответствующих детерминистических задач. Законы распределения вероятности р (<7*) для цилиндрической
1. Математические ожидания критической нагрузки для пологой цилиндрической панели
|
|
_ |
|
|
|
п* |
— |
в °/ |
Ф - в % |
|
<1в |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.1 |
4,84 |
|
67 |
146 |
0,25 |
4,50 |
|
62 |
136 |
522 Статистические задачи колебаний и устойчивости
оболочки при всестороннем сжатии при различных предположениях относительно начальных прогибов показаны на рис. 5 (/ — равномер ное в интервале 0 ^ и ^ ин распределение; 2—4 — нормальные рас пределения со стандартом си = 0,3 и различными значениями сред
него и). Из графика следует, что распределение начальных прогибов сильно влияет на распределение критических сил. Аналогичные кривые
рШ |
для |
цилиндрической |
обо- |
||||
лочки при |
осевом сжатии |
||||||
|
показаны на рис. |
6 |
(кри |
||||
|
вые обозначены: |
/ — при |
|||||
|
ц = 0,1, |
етм=0,05; |
2—при |
||||
|
и = |
0,1, |
аи= 0,1; |
3— при |
|||
|
и = 0,05, |
0^—0,05; |
4— |
||||
|
при |
а= 0 , |
Стц=0,05; |
5 — |
|||
|
при |
и — 0,05, |
Оы=0,1). |
||||
|
Распределение |
параметра |
|||||
|
начального |
прогиба |
пред |
||||
|
полагалось |
нормальным: |
|||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
" Ч |
т |
г ) " |
2' |
|
|
Рис- 6 |
где |
10о — начальный |
про |
||||
|
гиб; |
п — число |
волн в |
||||
окружном направлении; т — отношение |
длин полуволн в окружном |
|
и продольном направлениях. Некоторые |
кривые имеют |
два экстре |
мума: один — вблизи нижнего критического значения, |
другой — не |
|
сколько смещен в сторону верхнего критического значения.
рис. 7
В работе [21 ] Б. П. Макаров дал статистический анализ 222 резуль татов испытаний цилиндрической оболочки на осевое сжатие, собранных в работе Гарриса, Шуэра, Скина и Бенджамена [51] (в этой статье авторы ограничились построением кривых, соответствующих 10% и 1%
вероятности «хлопка»). На рис. 7 показаны гистограммы для крнти-
р
ческих усилий в различных интервалах изменения |
В области ма- |
|
лых V? |
гистограммы имеют два максимума, что согласуется с теорети |
|
ческим |
выводом, полученным в статье [22]. |
|
Замечания о применении квазистатического метода к динамическим задачам. Ряд задач не допускает квазистатической трактовки даже при сколь угодно медленном нагружении. Пусть, например, оболочка
Корреляционные методы |
523 |
при фиксированных внешних силах имеет более двух устойчивых форм равновесия. Тогда при достижении значения цв снизу может осуще ствляться любое из двух или нескольких устойчивых положений. Выбор не может быть сделан на основании квазистатических соображе ний. Неопределенность устраняется, если рассмотреть нагружение с ко нечной (хотя и малой) скоростью и ввести в рассмотрение начальные условия. Решив детерминистическую задачу, можно затем применить квазистатический метод. Квазистатический метод может быть исполь зован также для расчета на действие динамических нагрузок, если по следние представляют собой вырожденные случайные процессы, т. е. выражаются через детерминистические функции, зависящие от конеч ного (практически — весьма небольшого) числа случайных параметров. Примеры применения метода к задачам о Динамическом «хлопке» обо лочек даны в книге [4].
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Общая характеристика корреляционных методов. Корреляционные методы основаны на нахождении явных зависимостей искомых функций (обобщенных координат) от возмущающих обобщенных сил и на после дующем применении операции статистического осреднения. В случае линейной системы с постоянными параметрами эти зависимости могут быть найдены точно — в виде интегралов. В случае нелинейной или параметрической системы эти зависимости находят приближенно — на основе методов нелинейной механики (метода линеаризации, метода малого параметра и т. п.).
Другая разновидность корреляционных методов — метод моментов—
заключается в |
применении операции |
осреднения непосредственно |
к стохастическим |
уравнениям движения. |
В случае линейной системы |
этот метод позволяет получить замкнутую систему уравнений для моментов искомых функций. В случае нелинейной или параметрической задачи получить такую замкнутую систему не удается. Для решения задачи приходится вводить некоторые статистические гипотезы, в соот ветствии с которыми корреляционные моменты более высокого порядка выражаются через моменты низшего порядка. Таким способом «усекают» бесконечную последовательность уравнений для моментов.
Корреляционные методы. Пусть цх (/), цг (/)» • • •, Яп (0 — не которые случайные функции времени /. Чертой сверху обозначим осред
нение по ансамблю |
реализаций. Будем считать также, что средние |
значения функций |
(*) = 0 (этому требованию легко удовлетворить, |
вводя соответствующее преобразование функций). Рассмотрим ха рактеристики процесса, образуемые по следующим правилам:
|
К„а„ЛЧ. |
Я» ((.У |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
( а , Р , |
у = 1, 2 , |
|
п ) |
|
и т. д. Здесь 1Ъ |
/2— произвольно |
выбираемые |
моменты |
времени. |
|
Характеристики Кч^ (/р /2)* ^яая&яу (*!• *2» *з) |
1 |
т* А |
называют |
||
корреляционными |
функциями второго, третьего |
и |
т. д. |
порядка. |
|
|
Корреляционные методы |
525 |
Функции |
(со) называют совместными спектральными |
плот |
ностями процессов <7а (/), {(). Они характеризуют распределение энергии процесса по частотам и весьма удобны для качественного и ко личественного исследования случайных колебаний в системах. Если процесс содержит периодические составляющие, то спектральные плот ности будут иметь особенности типа дельта-функций.
Аналитические выражения, используемыедля корреляционных функций и соответствующих спектральных плотностей некоторых слу чайных процессов, приведены в табл. 2. Корреляционные функции
2. Некоторые аналитические выражении, используемые для описания корреляционных функций и соответствующих спектральных плотностей