Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

516 Статистические задачи колебаний и устойчивости

Квазистатические методы основаны на применении хорошо извест­ ных формул теории вероятностей. Эти методы с успехом могут быть применены к тем задачам, в которых случайные факторы описываются при помощи конечного (практически не слишком большого) количества случайных величин. Для того чтобы использовать квазистатические методы, необходимо располагать решениями соответствующих детерми*

Рис. 3. Классификация методов решения задач статистической дин

нистических задач во всей области изменения случайных параметров; дальнейшие операции сводятся к преобразованию распределений веро­ ятностей для этих параметров. Область применения квазистатических методов не ограничивается теми задачами, где нагрузки изменяются весьма медленно (квазистатически). Если случайные динамические нагрузки могут быть представлены в виде детерминистических функций времени, зависящих от конечного числа случайных величии, то квази­ статические методы и здесь могут оказаться весьма эффективными.

Корреляционные методы основаны на использовании связи между корреляционными (или моментными) функциями «входных» параметров (например, нагрузок) и «выходных» параметров (прогибов, внутренних усилий, напряжений). Эти связи могут выражаться как при помощи дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, так и — в простейших случаях — при помощи конечных соотношений. Спек­ тральный метод и метод канонических разложений занимают промежу­ точное место между корреляционными и квазистатическими методами. Область применения корреляционных методов — задачи, в которых

внешняя нагрузка представляет собой коррелированный случайный процесс. Методы оказываются особенно удобными, если нагрузка яв­ ляется гауссовским процессом, а система — линейной. Однако и для ряда нелинейных систем иногда удается получить эффективное реше­ ние, привлекая методы нелинейной механики.

В третьей группе методов используют дифференциальные и интегродифференциальные уравнения, описывающие эволюцию функции рас­ пределения случайных параметров во времени. Методы кинетических уравнений особенно подробно разработаны применительно к процессам без последействия (марковским процессам). Поэтому область эффектив­ ного применения этих методов — задачи, в которых выходные величины можно трактовать как компоненты некоторого многомерного марков­ ского процесса. Основное преимущество методов, основанных на рас­ смотрении марковских процессов, состоит в возможности непосред­ ственного получения функций распределения. Однако реализация этого преимущества может оказаться невыполнимой из-за трудностей отыска­ ния решений кинетических уравнений.

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Предварительные замечания. Квазистатические методы основаны на формулах элементарной теории вероятностей н не требуют привле­ чения теории случайных процессов. Применение квазнстатических методов предполагает предварительное решение соответствующих детерминистических (статических или динамических) задач [3, 4, 25, 28, 501. Приложения квазнстатических методов к различным задачам устойчивости оболочек даны в работах (10, 12, 21—23]. Аналогичные методы применяют в теории автоматического управления и радиотех­ нике под названием «методы безынерционных преобразований» |27].

Условия применения квазнстатических методов. Эти условия со­ стоят в следующем [41:

1) входные параметры, влияющие на поведение конструкции, могут быть описаны при помощи конечного числа случайных величин

параметры, характеризующие форму и механические свойства конструк­ ции; <7а — параметры, характеризующие нагрузку и другие внешние условия эксплуатации или эксперимента;

2) выходные параметры, характеризующие поведение конструкции (перемещения, деформации, усилия, моменты и напряжения), также могут быть описаны при помощи конечного числа случайных вели­

чии Ух, о2. • •> ^л; 3) указанные две группы параметров связаны между собой извест­

которые предполагают однозначными и кусочно-непрерывными. Определение совместной плотности вероятности для выходных пара­

метров. Плотность вероятности р (ь>1, о2, уя) определяют по из­ вестным формулам для плотностей вероятности функций случайных

Определение вероятности отказа. Допустим, что области нарушения нормальных условий эксплуатации принадлежат точки в пространстве

Задачи, связанные с обработкой и интерпретацией опытных данных. Пусть независимыми случайными величинами являются внутренние параметры системы и1г и2, ., ит. Требуется найти совместную плот­ ность вероятности для предельных значений параметров 01э ^2, . . щг.

Будем обозначать эти предельные значения через </2* • » Яг» Допустим, что известны детерминистические соотношения между пара­

быть легко сняты. Случай, когда однозначная зависимость отсутствует, рассмотрена книге [4].

Рассмотрим обратную задачу: по заданному распределению вероят­ ностей для предельных нагрузок найти распределение вероятностей для внутренних параметров оболочки. Решить эту задачу можно