Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
56 |
Устойчивость стержней |
Скручиваемые стержни
Скручиваемый длинный стержень может потерять устойчивость, причем ось его принимает форму кривой двоякой кривизны. Крити ческим является то значение крутящего момента, при котором пря молинейная форма оси перестает быть формой устойчивого равно весия.
Если кроме крутящих моментов на стержень действует также про дольная сила, то критическое значение скручивающего момента сни жается (при сжатии) или возрастает (при растяжении).
Данные для определения критических значений скручивающих мо ментов при различных способах закрепления концов двухопорного скручиваемого стержня приведены в табл. 27.
О б о з н а ч е н и я ; Вх и Ву — главные жесткости при изгибе;
С — жесткость стержня при кручении.
|
Тонкостенные стержни |
57 |
||
27. |
Формулы для определения |
критических |
скручипающнх моментоп |
|
I1 |
|
|
|
|
Закрепление концов стержня |
Действующая нагрузка |
к |
Критическое значение |
|
|
||||
|
Скручивающие момент |
1 |
м |
2лВ .. |
|
= ___У |
|||
О |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
о. |
Скручивающие моменты к |
1 |
|
|
о. |
|
|
||
сжимающая сила Р |
|
|
|
|
се |
|
|
|
|
а
Концы заделаны
То же |
0,5 |
См. график на рис. 52, а |
||
Скручивающие моменты |
|
|
8.97Д |
|
‘ |
|
|
/ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ВУ |
|
|
КР |
М + ]УМ г + 4 В у Р |
|
То же н сжимающая сила Р |
- |
Коэффициент х |
по графику |
|
на рис. 52, 6 в |
зависимости |
|||
от
А В Р
( М * + V М + 4 В Р ) '2
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
Общие сведения *
Для тонкостенных стержней с открытым профилем сечения харак терна относительно небольшая жесткость при кручении. Вследствие этого при сжатии (центральном или внецентренном), а также при изгибе таких стержней становится возможным особый вид потерн устойчивости, выражающийся в появлении закрученных или изогнутозакрученных форм равновесия (рис. 53).
О б о з н а ч е н и я : х, у — главные центральные оси поперечного сечения; г — продольная ось стержня, проходящая через центры тя жести его поперечных сечений; ах и ау— координаты центра изгиба поперечного сечения в системе осей х и у\ и и о — перемещения центра изгиба сечения в направлениях осей х и г/; ф — угол поворота сечения вокруг центра изгиба; и Ту — главные центральные моменты инер ции поперечного сечения; Е^x и ЕЗу — главные жесткости при изгибе;
• Об особенностях тонкостенных стержней, их секториалышх характе ристиках и расчетах на прочность и жесткость см. т. I, гл. 12.
58 |
Устойчивость стержней |
||
0 ^к — жесткость при свободном кручении; |
— секториальный момент |
||
инерции; |
Е^&— секториальная |
жесткость; гр — полярный радиус |
|
инерции |
поперечного сечения; |
Л2 = |
(рис. 54). |
Возмущенная форма равновесия характеризуется тремя функ циями и (г), и (г) и ф (г) и описывается системой трех дифференциальных
уравнений. Решение этой системы должно удовлетворять граничным условиям, зависящим от закрепления концов стержня (табл. 28 и 29), где предполагается, что при свободе перемещений концов отсутствуют активные нагрузки на этих концах.
23. Граничные условия, соответствующие изгибу в плоскостях хг н уг
Схема
1
2
*’
3
Характеристика закрепле ния конца
Заделка: поворот и про гиб невозможны
Шарнирная опора: прогиб равен нулю, изгибаю щий момент отсутствует
Свободный конец: изги бающий момент и попе речная сила равны иулю
Граничные условия
и= 0; и' = 0 или о=0; о' = 0
//=0; ^"==0 или
и"= 0; ит = 0 или р"=0; V*= 0
Тонкостенные стержни |
59 |
2 9 . Г ран и ч н ы е усл ови и , с о о т в е т с т в у ю щ и е |
зак р уч и в ан и ю |
вок руг о с и 2 |
|
Схема
/ ^4жи
Ь?---------------
---------------
3
^ -----------------
1111
Характеристика закрепле ния конца
Полная заделка: поворот идепланацня отсутствуют
Частичная заделка: пово рот невозможен, депланацип свободная
Частичная заделка: сво бодный попорот, депланацня отсутствует
Свободный конец: свобод ный попорот, свободная дспланацин
Центрально сжатые стержни
Граничные условия
Ф = 0; ф' = 0
ф = 0 Ф" = 0
Ф' =0; Ф" = к2ф'
ф" — 0; ф" = /г2ф'
Возмущенные формы равновесия описываются системой дифферен циальных уравнений
й*и |
А2и |
А-ф л |
Е^ 1 ? |
+ Р о ? + Ра» 1 ? = 0 - |
|
|
|
(47) |
где Р — сжимающая сила. |
оси симметрии. В этом случае |
|
Случай, когда сечение имеет две |
||
ах ~ иу = 0 и система дифференциальных уравнений (47) распадается на три уравнения
|
|
Ахи , |
(Ри |
|
|
Ы у А ? ~ г И 1 й 2 " =0; |
|
||
|
|
АгА 1 |
Аг* |
(48) |
|
|
|
||
Е1 |
^4(Р |
I (р г2 _ П] \ |
_л |
|
|
• 3 ? |
+ \РГР |
ы *)л* |
|
60 |
Устойчивость стержней |
Вследствие независимости дифференциальных уравнений (48) воз можны три различные и несвязанные один с другим возмущенные формы равновесия: две чисто изгибныеи одна чисто крутильная; каждой из них соответствует свое критическое значение нагрузки.
При граничных условиях
и = V = Ф = 0; и" = о" = ф" = 0 при 2 = 0 и г = I |
(49) |
(см. схему / в табл. 30) решением системы (48) служат выражени
4 |
7X2 |
; |
п |
7X2 |
^ , |
1Т2 |
^ е ^ \\ |
. |
и = А 51П |
—у |
|
V = В 5Ш —у ; |
<р = |
С з!п —у |
|
Для существования этих возмущенных форм равновесия должны вы полняться неравенства А Ф 0, В =$=0, С Ф 0, что приводит к следу ющим трем критическим значениям сжимающей силы:
За расчетную принимают наименьшую из найденных трех критиче ских сил.
При других способах закрепления концов стержня критические
значения сжимающей силы |
определяют |
по формулам |
|
, |
|
х |
я *Е1У |
х ~ |
(йО2 ’ Уу~ |
(ц/)а > |
|
в |
II |
•0^1 — |
|
где р — коэффициент длины при изгибных формах потери устойчивости; V — коэффициент длины при крутильной форме потери устойчивости. Значения р см. стр. 17, значения V приведены в табл. 30.
Случаи, когда сечение имеет одну ось симметрии. Пусть главная центральная ось поперечного сечения х является его осью симметрии.
Тогда ау = 0 и |
система |
уравнений |
(47) |
приобретает |
вид |
|
|
|
Е1Ч ? + Р 1 ? - 0' |
|
|
||
|
г» |
Р — |
— Рп |
^ |
= 0; |
(53) |
|
Ы х аг* + Р йг2 |
Рах№ |
|
|
||
р т |
_ 1 / р Л __ПТ \ |
__Ра |
__О |
|
||
|
' |
р |
йг2 |
Рйх йг2 |
|
|
Первое из этих уравнений соответствует чисто изгибной форме потери устойчивости (изгиб в плоскости симметрии стержня), а два других уравнения — изгибно-крутильной форме потери устойчивости