66 |
Устойчивость стержней |
Устойчивость при поперечной нагрузке
При действии поперечной нагрузки, проходящей через центры изгиба сечений и параллельной одной из главных осей, происходит изгиб, не сопровождаемый закручиванием. Однако при достижении нагрузкой некоторого критического значения эта изогнутая форма равновесия перестает быть устойчивой и возникает новая возмущен ная форма равновесия, характеризуемая закручиванием стержня. Особенно большое практическое значение это явление имеет в случаях поперечного изгиба узких высоких балок в плоскости наибольшей жесткости. Случай прямоугольного и двутаврового поперечного сече ния см. стр. 66—76.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА*
Общие сведения
Более высокую прочность и жесткость имеют балки с узкими и высо кими сечениями. Однако в этих случаях возникает опасность потери устойчивости плоской формы изгиба. Такой вид потерн устойчивости называют опрокидыванием; при опрокидывании балка скручивается, а ее ось изгибается в плоскости
наименьшей жесткости.
|
|
|
О б о з н а ч е н и я |
(рис. |
56): |
|
|
|
|
Ву = Е^у — жесткость |
при изгибе |
||
|
|
|
в плоскости хг (наименьшая жест |
|||
|
|
|
кость); Вх = Е^x — жесткость |
прн |
||
|
|
|
изгибе в плоскости уг (наибольшая |
|||
|
|
|
жесткость); |
С = 0 ^к — жесткость |
||
|
|
|
свободного |
кручения; Мг — крутя |
||
|
|
|
щий момент; Мх, М у—изгибающие |
|||
моменты соответственно в плоскостях уг и хг; |
0.x и 0.у — поперечные |
|||||
силы в направлениях |
осей х |
и у; ср — угол поворота сечения вокруг |
||||
продольной оси г. |
|
приведены в табл. 31. |
|
|
||
Типы |
опорных устройств |
|
|
|||
|
|
31. Типы опорных устройств |
|
|
||
Схема |
Характеристика |
Опорные реакции |
|
|||
опорного устройства |
|
|||||
1 |
|
|
|
Мх\ Му, Л4г; |
|
|
|
|
Полная |
заделка |
|
||
~ = |
^ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
2 |
_ |
|
|
Мх = 0; |
Му\ Мг, |
|
<---- |
Заделка |
в плоскости хг, |
||||
|
шарнир в плоскости уг |
ях -. яи |
|
|||
1 |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
• Написано совместно с В. Ф. Луковниковым.
Устойчивость плоской формы изгиба |
67 |
Схема
7
п
----------- + *
и4
4
--------- ^
5
—р
Я!
Характеристика опорного устройства
Шарнир в плоскости хг, заделка в плоскости уг
Шарнир л плоскости хг, направляющие в пло скости уг
Шарниры в плоскостях хг
и уг
Продолжение табл. 31
Опорные реакции
Мх; Му = 0; Мг\
<?*•
м х = 0; Му = 0; Му,
*х- <*у = 0
Мх = 0; Му *= 0; Му
Балка с узким прямоугольным сечением (полоса)
Основное дифференциальное уравнение задачи, описывающее воз мущенную форму равновесия, имеет вид
м \
<Р” + 1 ^ Г <Р= 0:
в общем случае оно имеет переменные коэффициенты. Интегрированием уравнения (73) и подчинением решения соответствующим граничным условиям получены результаты для ряда частных задач (табл. 32).
Результаты, приведенные в табл. 32, получены в предположении, что
отношение сторон сечения весьма мало и изгибом в плоскости уг
можно пренебречь. Однако опрокидывание может произойти и в случаях,
когда отношение сторон не очень мало, но длина I достаточно велика.
В этих случаях можно пользоваться теми же выражениями для крити ческих нагрузок, но с несколько большими значениями коэффициентов.
Так, для схемы 2 п р и -^ - = - ^ - ; |
вместо коэффициента 4,01 |
соответственно получится 4,08; 4,32; 5,03. |
|
Если консольная полоса имеет |
переменную высоту, меняющуюся |
по закону, |
______ |
Л — |
1 |
» |
(74) |
68 |
Устойчивость стержней |
32. Критические нагрузки для некоторых случаев нагружения полосы
О
'С е е е е В
5 |- - е—|Р ________
Критическая нагрузка
п1Лвус
М кр~ |
21 |
При потере устойчивости плоскость действия пары сохраняет неизменную ориентацию в системе подвижных осей, жестко связанных с перемещающимся торцовым сечением
4,01 ]/"ВуС
12,85 УВуС
= Т*
пУВуС
* У вус
кр 12
а:1 | 0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
56,01 29.11 21,01 17,82 16,94
28,31 У ВуС
|
|
|
2" УГвис |
|
|
кР |
I |
7- |
|
КР ~ |
44.5 У В уС |
д ~ ~ — |
& |
/2 |
|
|
|
Устойчивость плоской формы изгиба |
69 |
||
|
|
Продолжение табл. 32 |
|
Схема |
Критическая нагрузка |
||
5 |
|
5,56 ]/"В^С |
|
|
|
|
|
Г |
Ркр |
г- |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
(«,0^= 15,95-----— |
|
|
11 |
|
56,5 у в |
? |
, |
. |
||
\ |
2 }кр |
Г- |
|
то критическое значение полной нагрузки 0.кр определяют по формуле
|
Л |
_ |
т V в ус |
|
|
(75) |
|
ЧкР = |
-------р----- |
|
|||
Коэффициент т зависит от значен |
|
корня |
и вида на |
|||
гружения (табл. 33). |
|
|
|
|
|
|
33. Значения |
коэффициента |
т в формуле (75) |
|
|||
Способ нагруженн |
|
|
|
|
п |
|
|
|
4 |
2 |
1,333 |
1 |
|
|
|
|
||||
Сосредоточенная сила на кон |
3,61 |
3,21 |
2,81 |
2,40 |
||
це (см. схему 2 в табл. |
32) |
|
12,8 |
11,2 |
10,4 |
9,60 |
Распределенная нагрузка |
(см. |
|||||
схему 3 в табл. 32)
Формулы для определения критических нагрузок на полосу с кру говой осью приведены в табл. 34.
В более сложных случаях нагружения критические значения нагру зок определяют энергетическим методом. Часто практикуют тригоно метрическую аппроксимацию функции <р. Более точные результаты получают в том случае, когда для приближенного выражения ф (г) принимают функцию прогиба балки, закрепленной и нагруженной так же, как и исследуемая полоса (в плоскости наименьшей жестко сти). Такие функции автоматически удовлетворяют всем граничным условиям и достаточно точно отражают действительную деформацию балки.
Ряд полученных таким способом результатов приведен в табл. 35.
70 |
Устойчивость стержней |
:14. Критические нагрузки для некоторых случаен нагружения полосы с круговой осью