Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

246	О сновы т е о р и и к о л е б а н и й м ех а н и ч еск и х с и с т е м

где уст— перемещение, вызываемое статически действующей силой Р0,

Уст

•

09)

В случае, когда возмущающая сила задана законом

Р = Я0со§©<,

(40)

движение описывается зависимостью

у-------

(СО$ <й(—С08 р().

(41)

Выражения (38) и (41) относятся к случаю нулевых начальных условий. В действительности, из-за неучтенных при выводе неупругих сопротивлений вторые слагаемые в скобках в формулах (38) и (41)

с течением времени быстро исчезают (рис. 9). Поэтому		амплитуда
стационарной части решений (38) и (41) будет
а	Уст= р-Уст*	(42)
причем
		(43)

называют коэффициентом динамичности (рис. 10).

Отношение амплитуды силы, передаваемой при колебаниях основа нию через упругую связь, к амплитуде Р 0 возмущающей силы называют коэффициентом передачи. В рассматриваемом случае он совладает с коэффициентом динамичности (43).

Колебания линейных систем с одной степенью свободы			247
При (О= р {резонанс) решение имеет вид
		у = — Щр- <о( соз соЛ	(44)
В этом случае происходит раскачка колебаний, причем амплитуда
возрастает по линейному закону
(рис. 11).	амплитуда	—
Если	амплитуда	возмущаю
щей силы (37) пропорциональна
квадрату	ее частоты
	Р0 = аша,	(45)

Рис. 11

то амплитуда колебаний (при со ф р) составляет (рис. 12)

		а = — I		То-------- г .			(46)
		т		■— 1
Если на систему в течение			короткого		времени		(/„ < 0,5Г) дей
ствует постоянная	сила Р0 — «прямоугольный					импульс» (рис. 13), то
Р (О = 0		при I ^	0;
Р {0 = Ро при 0 < * < / , ;					(47)
Р (0 = 0		при ( >	/*;
наибольшее отклонение		\1уст =	иР
			ш'~~тдостигает
ся после исчезновения силы (при />»/*), при
чем динамический	коэффициент составляет
ц = 2 5Ш -у * -.					(48)		Рис. 13

Независимо от закона изменения возмущающей							силы Р = Р (/),
если длительность	ее действия весьма мала					по сравнению с перио
дом Т свободных	колебаний системы, то				при	/ >
		и & ---- 51П р1,					(49)
		*	пгр

где 5 — импульс силы,

и
5 = \| Я (т) йх.	(50)

248 Основы теории колебаний механических систем

	Амплитуда колебании составл
	$ _	(51)
	тр	(51)
	тр

Другие случаи непериодических вынужденных колебаний также могут быть исследованы с помощью выражения (36); некоторые резуль таты приведены в табл. 12.

12. Некоторые случаи непериодических вынужденных колебаний

Возмущающая сила

Закон двнженн

РГ

го

р>1 2

0 Г

Р{ 3 Ро '-------- —

Р Ч Ро

°\

{

Р^Рп МП~

^ т

У = Уст 0 ~ С05 р О;

у = - у - + ^ - 5|п" '

[,		е~ а1		Р	V
и ист [ 1		1 + р 1		1 + Э - Х
X (51	п р1 +		&С02 рГ) \|		;
о _	а	•	Уст ~	^0
Р	Р	•		с

4- 2 »		(1 +	соз р()
р 2*2
*
---- 17-5 51п	р*1		При 0 < * < 1т

Колебания линейных систем с одной степенью свободы

249

Если действующая на систему сила представляет сумму двух гармо

нических составляющих
Р = Рг 51П (о)^ + ах) + Рг 51П (ш2/ + а 2),	(52)

причем частота со2 незначительно отличается от частоты (Ох, то движенн представляет собой биения (см. рис. 2, в), происходящие с частотой

		СОх Н- ш2	(53)
	~	2	(53)
	~	2
Амплитуда колебаний меняется от минимального значения
апип —			(54)
до максимальн
атах —			(55)
Период биений, т. е. время, проходящее между моментами достиже
ния последовательных максимумов амплитуды, будет
Та		2л	(56)
Та	\| «о, — <в2 1		(56)
	\| «о, — <в2 1
Действие произвольной периодической возмущающей силы			(см.
рис. 2, в)		Р ( / + Г )	(57)
Р(/) =		Р ( / + Г )	(57)

(Т — время изменения возмущающей силы) можно исследовать двумя способами.

С п о с о б	г а р м о н и ч е с к о г о а н а л и з а . Функция (57)
представляется	рядом Фурье

Р(0 = ^ + \|] а,сев^	_	+ ^	Ьл	2^,	(58)
к=1		Л=1
где а* и Ьь — коэффициенты Фурье,
Т
а * = - \| г- \| р ( 0		(к = 0 , 1, 2,		.).
О					(59)
					(59)
Ь„ = Т - I Р (0 З‘п ^ Г ~	Л	(А =	1, 2, . . .),

250 Основы теории колебаний механических систем

Затем определяют стационарные режимы движения от каждого слагаемого суммы (58) и полученные результаты суммируют:

		.	ал С08 <*>/ +			Ьх 51П й)
	5- >8[2<й/ +						+
	5- >8[2<й/ +			Ь2 51П 2(й<		.	1			(60)
+										(60)
Резонанс наступает при лю =				р,	где п — любое целое число.
С п о с о б Д у ф ф и н г а .				Вычисляют коэффициенты
г					т
с0 = ^	Р (т) сое рт ёх;				$0 = ^ Р (т) з т рт ёх,					(61)
с помощью которых решение записывают в виде
У(О	1	(с о С * е -^ -+				*»)соз р1 —
У(О	2тр	(с о С * е -^ -+				*»)соз р1 —
	2тр
— ^с0 — а0		$1п			2 \| Р (т) 51а р (( — т) ёх					(62)
Решение (62) справедливо			при 0 <• / <			Т и	повторяется		во	всех
последующих периодах.
В табл. 13 приведены некоторые частные решения, полученные при
помощи решения	(62).
Системы с вязким трением. Дифференциальное уравнение движения
при силовом возмущении можно привести к виду
*пу+ку + су=Р Ц)			или		у 4 -	2 +	=	ш		(63)
								ш
При кинематическом возмущении уравнение имеет тот же вид										(см.
соотношение (35) (. При нулевых начальных условиях (у0 — 0;									о0 = 0)
общее решение дифференциального уравнения (63) имеет вид
	г
У=	\| Р (т)а_Л (“ т) 5п р* 0 — т) ёх;									(64)
где	* о
где
		р , =		1 /У - ч * .						(65)
В частном случае гармонического возмущения (37) стационарная
часть решения будет		у =	а з!п (<о( — у),							(66)
где		у =	а з!п (<о( — у),							(66)
где

« = Мет,

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры