Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

296 Свободные и вынужденные колебания стержней

			Продолжение табл. 4
ах	5 (ад:)	Т (ад:)	и (а*)	V (ах)
3,2	5,64418	6,09375	6,64247	6,15212
3,3	6,29364	6,69006	7,28112	6,84781
3,4	7,01592	7,35491	7,98277	7,61045
3,5	7,81818	8,09592	8,75464	8,44760
3,6	8,70801	8,92147	9,60477	9,36399
3,7	9,69345	9,84072	10,54205	10,37056
3,8	10,78540	10,86377	11,57637	11,47563
3,9	11,99271	12,00167	12,71864	12,68943
4,0	13,32739	13,26656	13,98093	14,02336
4,1	14,80180	14,67179	15,37662	15,49007
4,2	16,43020	16,23204	16,92046	17,10362
4,3	18,27794	17,96347	18,62874	18,87964
4,4	20,21212	19,88385	20,51945	20,83545
4,5	22,40166	22,01274	22,61246	22,99027
4,6	24,81751	24,37172	24,92966	26,36541
4,7	27,48287	26,98456	27,49526	27,98448
ЗЯ	27,83169	27,32720	27,83169	28,32720
9	27,83169	27,32720	27,83169	28,32720
4,8	30,42341	29,87746	30,33591	30,87362
4,9	33,66756	33,07936	33,48105	34,06181
5,0	37,24680	36,62214	36,96314	37,58106
5,1	41,19599	40,54105	40,81801	41,46686
5,2	45,55370	44,87495	45,08518	45,75840
5,3	50,36263	49,66682	49,80826	50,49909
5,4	55,67008	54,96409	55,03539	55,73685
5,5	61,52834	60,81919	60,81967	61,52473
5,6	67,99531	67,29004	66,21974	67,92131
5,7	75,13504	74,44067	74,30033	74,99136
5,8	83,01840	82,34183	82, 13288	82,80633
5,9	91,72379	91,07172	90,79631	91,44562
6,0	101,33790	100,71687	100,37773	100,99629
6,1	111,95664	111,37280	110,97337	111,55491
6,2	123,68604	123,19521	122,68950	123,22830
2л	134,37338	133,87245	133,37338	133,87245
6,3	136,64336	136,15092	135,64350	136,13411
6,4	150,96826	150,46912	149,97508	150,35257
6,5	166,77508	166,39259	165,79749	166,17747
6,6	184,24925	183,92922	183,29902	183,61768

	Свободные колебания (точные исследования)			297
			Продолжение табл. 4
ах	5 (ах)	Т (ах)	и (ах)	V (ах)
6,7	203,55895	203,30357	202,64457	202,89872
6,8	224,89590	224,70860	224,02740	224,21449
6,9	248,47679	248,35764	247,661 Об’	247,77920
7,0	274,53547	274,48655	273,78157	273,82956
7,1	303,33425	303,28381	302,64970	302,62707
7,2	335,16205	335,25434	334,55370	334,46067
7,3	370,33819	370,50003	369,81211	369,64954
7,4	409,21553	409,44531	408,77698	408,54660
7,5	452, 18406	452,92446	451,73742	451,54146
7,6	499,67473	500,03281	499,42347	499,06489
7,7	552,16384	552,58097	552,01042	551,58780
7,8	610,17757	610,64966	610,12361	609,65112
5/2л	643,99272	644,49252	643,99272	643,49252
7,9	674,29767	674,81986	674,34367	673,82102
8,0	745,16683	745,73409	745,31233	744,74-173
8,1	823,49532	823,95189	823,73886	823,28200
8,2	910,06807	910,70787	910,40722	909,76714
8,3	1005,75247	1006,41912	1006,18385	1005,51695
8,4	1111,50710	1112,19393	1112,02639	1111,33933
8,5	1228,39125	1229,09140	1228,99326	1228,29291
8,6	1357,57558	1358,28205	1358,25430	1357,54765
8,7	1500,35377	1501,05950	1501, 10242	1500,39658
8,8	1658,15549	1658,85342	1658,96658	1658,26850
8,9	1832,56070	1833,42607	1833,42614	1832,74284
9,0	2025,31545	2025,97701	2026,22658	2025,56489
9.1	2238,34934	2238,98270	2239,29706	2238,66360
9,2	2473,79487	2474,39373	2474,76971	2474,17079
9,3	2734,00871	2734,56071	2735,00094	2734,44255
9,4	3021,59536	3022,10755	3022,59505	3022,08297
Зя	3097,41192	3097,91193	3098,41197	3097,91193
9,5	3339,43314	3339,89411	3340,43031	3359,96926
9,6	3690,70306	3691,11321	3691,68775	3691,27754
9,7	4078,92063	4079,26590	4079,88299	4079,53766
9,8	4508,47103	4508,25298	4508,90146	4508,61946
9,9	4982, 14802	4982,35202	4983,03721	4982,32136
10,0	5596,19606	5506,34442	5507,03599	5506,68844

298 Свободные и вынужденные колебания стержней

Постоянные С1г С2, Са и С4 выражаются через начальные значения функции X (дг) и ее производные

С, = Л-(0); С2 — ± - * '( 0 ) ;

(29)

С3 = - ^ - Х ” (0); С4 = -^ -Х "'(0).

На каждом конце стержня имеется по два граничных условп приведенных в табл. 5.

5. Граничные условия на конце стержня

С п о со б з а к р е п л е н и я к о н ц а

Ш а р н и р н о - о п е р	1
ты й
	Ж . ------------------
	?
З а к р е п л е н н ы й
	1
	3
С во б о д н ы й
	4 а
	X -----------
У п р у г о -о п е р т ы й
( ж е с т к о с т ь о п о р ы с)
	---------- 1

Г р а н и ч н ы е у с л о в п

А' = 0 ;		X " =		0
II	о	*	II	о
Х " =	0;	Х т =		0
X " = 0; Е ^ X ^I = с Х
X " = 0;	Е ^ X т = — с Х

5а>

	X " = 0; т фр г Х = — Е ^ X ^'
С в о б о д н ы й к о н е ц
с п р и с о е д и н е н н о й
т о ч е ч н о й м ас с о й т ,
5 6	X ” =	0; т , р 2X = Я У X ,ч
	X ” =	0; т , р 2X = Я У X ,ч

Свободные колебания (тонные исследования)

299

Для составления уравнения частот нужно с помощью соотноше ний (25) и (28) выразить граничные условия задачи через функции Крылова, а затем записать условие существования ненулевых реше

ний для постоянных	С[.
Притер б. Составить уравнения частот для стержн							на рис. 4.
Граничные условия:	X (0) =	0;	X' (0)=» 0;			»
	X (0) =	0;	X' (0)=» 0;			»	(30)
	X (/) =: 0;		X" (0) = 0. \|				(30)
	X (/) =: 0;		X" (0) = 0. \|
Подставляя сюда выражения (25) и (28), получаем
	С, = 0;		С5 =	0;		\|
	С3(/ (а/) +	С^У (а0 =			0;	>	(31)
	С35 (а/) +	САТ (а/)		=	0.	'
Условие ненулевых	решений для		постоянных			С, и С«:
	I и (а/);		V Ш) I		0.		(32)
	I 5 (а/):		Т (аI) \ =		0.		(32)
Подставляя сюда выражения (26), получаем трансцендентное уравнение
частот			(33)	Я
{2Сс/=ИмхЛ			(33)	Я
корни которого				Л
(а/)1 =3,927; {0.1).2= 7,069;				1
4 п +1
(*Ол =						Рис.	4
						Рис.	4

Уравнения частот и их корни для различных комбинаций закрепле ния концов стержня приведены в табл. 6, а выражения для собственных форм колебаний — в табл. 7.

Для облегчения последующего решения задач о вынужденных ко лебаниях иногда полезно умножить собственную функцию на некото рый нормирующий множитель, определяемый из условия нормирова ния (9).

Уравнения частот для балок со ступенчатым изменением сечения, с промежуточными опорами (в частности, упругими) и с дополнитель ными массами составляют на основе соотношений (25)—(29) с учетом условий сопряжения участков (табл. 8).

В табл. 9 приведены коэффициенты а/, с помощью которых по фор муле (27) определяют низшие собственные частоты изгибных колебаний стержней с упругими опорами и собственные частоты изгибных колеба ний стержней с дополнительными сосредоточенными массами.

Колебания неразрезных балок. Уравнения частот удобно составлять

в форме уравнения трех моментов:					ТпЦп - 8 пУп
1			___! _		ТпЦп - 8 пУп
Мп. 1 (аЯУ)п		-№п	<а а )я		’ тп -	VI
			<а а )я		’ тп -	VI
	(аЫ)п	Тп+гУп
	(аЫ)п	' п+ 1— Vл+1
+	Мл-ц (а ЯУ)я			Уп+х	0.	(34)
+	Мл-ц (а ЯУ)я		1л+1	- V	0.	(34)
			1л+1	- V	Iп+1

300Свободные и вынужденные колебания стержней

0.Уравнения частот и их корни

Схема	балки	Уравнение частот	Корни уравнения
Схема	балки	Уравнение частот		частот
1			1		3,142
1		ят Ш= 0	2		6,283
		ят Ш= 0	И		9,425
			4		12,566
			к		кп
2			1		4,730
2			2		7.859
		соз а/ сЬ а/ = 1	3		10,996
		соз а/ сЬ а/ = 1	4		14,137
*		Ъ	к	- у	(2А +	1)
$			1		3,927
			2		7,069
		I# а1 = Нг а1	3		10,210
		I# а1 = Нг а1	4		13,352
			к		<« + К
4			1		1,875
4			2		4,694
Я		со5 0.1сН а1 = — 1	3		7,855
Я		со5 0.1сН а1 = — 1	4
			Я
			к	- г ' 8* - 1»
				- г ' 8* - 1»
			1		0
5			2		4,730
5		соз а/ сН а/ = 1	3		7,853
		соз а/ сН а/ = 1	4		10,996
			5		14,137
			к	Т	{2А “	1}
				Т	{2А “	1}
			1		0
6			2		3,927
6		а/ = 1Ь а/	3		7,069
	А	а/ = 1Ь а/	5		10 210
	А		5		13,352
			к	Ак — 3
			к		4	Я
					4	Я
	7. Выражения для собственных форм колебаний
Схема		Собственная форма колебаний
в табл.		Собственная форма колебаний
6
/		X {<хх) = з!п ах

2X (си) = (з!п а1 — зЬ а1) (сЬ си — соз си) —

—(с1г а 1 — соз ос/) (зН ах — з!п ах)

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры