316 |
|
|
|
Свободные и вынужденные колебания стержней |
|
|
|||||||||||
П ример |
10. |
О п редел и ть |
ам плитуды |
крутил ьны х |
к о л еб а н и й св о б о д н о го |
||||||||||||
вала, |
левы й |
кон ец к отор ого |
соверш ает |
за д а н н о е к ол ебан и е |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Фо |
= |
А 0 з!п |
со/ |
|
|
|
|
(80) |
||
(случай |
гарм он и ч еск ого |
ки нем атического |
в о зб у ж д е н и я ). В |
д а н н о м сл уч ае |
|||||||||||||
р а с п р е д е л е н н а я |
возм ущ аю щ ая |
н агр узк а отсутствует и п оэтом у |
п о ф о р м у л е |
(77) |
|||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О = |
А 51п |
|
- + |
В С05 - |
|
|
|
|
|||
Граничны е |
услови я |
|
(0) = |
|
|
|
V (/) = О |
|
|
|
|
||||||
позвол яю т |
найти |
V |
А |
0; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а = л 0 (к — ; В = А Ь. |
|
|
|
|
|||||||
С ледовательно, |
|
|
|
, |
|
ом: |
, |
сох 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
V = л й р е — |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
51" — |
+ соз — | |
|
|
|
|
|||||||
В |
частности, ам плитуда |
к ол ебани й |
своб о д н о го конца |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
<0 = |
|
|
|
|
|
|
|
(81) |
|
всегда |
бол ьш е |
ам плитуды задан н ы х |
кол ебани й |
л ев ого |
к он ца |
вал а . |
Р езон |
||||||||||
н аступ ает |
при |
со/ |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
------ = л , |
2л, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изгибные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных |
|||||||||||||||||
изгибных |
|
колебании |
стержня постоянного сечения |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
д*о |
, |
т |
д2о _ |
<7(х)зтсо* |
|
|
|
/0О1 |
||||
|
|
|
|
|
дх |
ш^тЕ ^ а д12 |
~ |
|
|
ЕЗ |
’ |
|
|
{ ] |
|||
где |
у (х) 51П |
— интенсивность |
|
распределенной |
возмущающей |
на |
|||||||||||
грузки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После зам |
|
V (х, () — У (X) |
|
|
|
|
|
(83) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
51П |
(О* |
|
|
|
|||||||
уравнение |
(82) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
|
.. |
Я(*) |
|
|
|
(84) |
||
|
|
|
|
|
|
У |
|
Е^ |
У ~ |
Е^ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При |
сосредоточенных |
возмущениях |
дифференциальное |
уравне |
|||||||||||||
ние (84) на каждом из участков становится однородным, а возмущающие
силы входят в граничные условия (или условия сопряжения участков). В этом случае
|
|
у = |
С25 (ах) + С2Т (ах) + С*Ы (ах) + |
С4У (а х ), |
(85) |
||||||
где |
СА— С4 — постоянные, |
определяемые |
граничными |
условиями; |
|||||||
5, |
Т, I/, V — функции |
А. Н. Крылова (см. табл. 4). |
|
|
|||||||
|
П ример |
11. |
О предели ть |
п р огиб |
св обод н ого |
конца |
к он сол ьн ой бал к и |
при |
|||
действии на |
н его возм ущ аю щ ей |
силы |
Р 0 з1п со/. |
|
|
|
|
||||
|
Граничны е |
усл ов и я (н ач ал о |
к оор ди н ат на левом |
св о б о д н о м |
к он ц е) |
|
|||||
|
|
|
У'(0)= 0; |
у"(0)= — |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
У V) = |
0; |
у ' (/) = |
0. |
|
|
|
|
|
|
Вынужденные колебания |
317 |
||||
Условия на конце |
х = 0 дают |
|
|
||||
|
|
С3а* = С |
“ 1 1 7 ' |
|
|||
|
|
|
|
|
'■ с *а> = |
|
|
|
|
С, = |
0; |
С<“ |
а>Е, ' |
|
|
С учетом этого, условия на |
конце х = |
I приводят к соотношениям |
|||||
С»5 (а/) + |
С,Г (а/) - |
V (а/) = |
0; |
||||
ас у |
(со + |
аС,5 «Ю ---- - |
6/ (а/) = 0. |
|
|||
Отсюда находим |
|
|
|
V (а.1) Т (а1) - V (а/) 5 (а?) |
|||
С — |
|
Л, |
|
||||
|
а^Е^ |
|
|
Т (а1) V (во —5* (ап |
|
||
С, = |
Ро |
|
V- (а/) — (/ (а/) 5 (аО |
||||
а*Е^ |
|
Т (а') V (аО — 5* (а.1) |
* |
||||
Следовательно, |
|
|
|
и |
(а.1) Т (о1) — V (а/) 5 (аО |
||
(/(0) = |
|
Ро |
|
||||
|
а*Е^ |
|
|
Т (Ш) V (аО — $2 (а/) |
|
||
Для двухопорной балки, нагруженной посередине силой, аналогично можно найти
|
( 1 |
\ |
|
Р0 |
1 |
а / |
.. |
а / |
\ |
|
|
|
|
|
|
( . |
|
||||
Л |
- г ) |
~ |
4аЭЕ^ 1(*6 Т |
|
|
|
(87) |
|||
|
|
|
~~ |
Р0 / , |
О? . . . |
а / |
\ |
|||
м |
\ т |
) |
4 а |
V е ТГ |
|
|
|
|
||
Приложение метода начальных параметров см. в книге [2].
Общий случай действия возмущающих сил. Разложение решения по собственным формам
При действии распределенной периодической возмущающей нагрузки вида Р (х, 0 можно разложить ее в ряд Фурье и строить решение по способу, указанному на стр. 314—316, суммируя затем действия всех отдельных гармоник. Другой способ излагается ниже; он состоите раз ложении возмущающей нагрузки в ряд по собственным формам коле баний.
При вынужденных продольных колебаниях стационарная часть решения имеет вид
« < * , 1) = |
2 5 * (0 * * ( * ) , |
(88) |
|
к=1 |
|
где X * (х) — к-я собственная |
форма колебаний, |
а функции времени |
(?) определяют из уравнений типа |
|
|
я * + |
р & = т л о . |
(89) |
318 |
Свободные и вынужденные колебания стержней |
|
||
|
Правые части этих уравнений определяются выражен |
|
||
|
I |
I |
|
|
|
Рь ( 0 = | |
Р (*. О X* (/) йх: | т (х) |
(ж) Ох. |
(90) |
Знаменатель равен единице при нормировании собственных форм по выражению (9).
Те же соотношения остаются справедливыми и для других типов ко
лебаний — крутильных (с |
заменой |
и |
на (р) |
и поперечных (с заме |
||
ной и на о). |
|
|
|
|
|
|
Пример 12. Определить вынужденное движение двухопорной балки по |
||||||
стоянного сечения под действием |
внезапно приложенной сосредоточенной |
|||||
силы Р посередине пролета. |
|
|
определяются |
выражением |
||
Собственные формы колебаний |
||||||
|
„ |
, . |
|
, |
Аллг |
|
|
х к М = 5,11 —Г~‘ |
|
||||
Для вычислений по формуле (90) необходимо найти: |
||||||
/ |
|
|
|
|
I |
|
Р {х. /) Хк (х) 4х = Р з!п |
|
^ т(х) Л* йх = |
||||
Следовательно, |
|
|
2Р |
, |
йя |
|
|
|
|
|
|||
и уравнения (89) принимают вид |
|
|
|
|
||
« |
, |
2 |
|
2Р |
АЛ |
|
5а+ ра5а- — 51П— *
А*я* 1 / 1 7
РЬ~ I* V т■
Решение этих уравнений при нулевых начальных условиях:
Ал
2Р з!п — 1 — со$ Рк1
$ь = -
4
намическое перемещение определяется выражением типа (88)
|
— соз |
Алх |
|
2------51П — |
|
|
Рк |
|
Так, для середины пролета |
|
|
|
1 — соз р ^ |
|
А=1, 3.5 |
4 |
|
Полученный ряд сходится очень быстро, так как знаменатели отдельных слагаемых возрастают пропорционально А4.
Колебания рамных систем |
319 |
КОЛЕБАНИЯ РАМНЫХ СИСТЕМ
Общие сведения
Рамные конструкции, как и отдельные стержни, могут быть схема тизированы в виде систем с конечным числом степеней свободы (см. стр. 305): в этом случае их рассчитывают согласно указаниям, при веденным в гл. 4. Ниже даны сведения о расчетах свободных и вы нужденных колебаний плоских рам, рассматриваемых как системы с распределенными параметрами. При этом предполагается, что каждый из стержней, входящих в состав рамы, имеет постоянное поперечное сечение с жесткостью ЕЗ и равномерно распределенную массу интен сивностью т.
Наиболее удобен для динамического расчета таких систем метод перемещений, основы которого, применительно к статическим задачам, были изложены в гл. 3, т. 1. Согласно этому методу основная система образуется путем введения связей, препятствующих поворотам и ли нейным смещениям всех узлов рамы (если соответствующая подвижность не исключена связями, имеющимися в заданной системе). За «лишние» неизвестные принимают угловые и линейные смещения узлов, причем для определения неизвестных служат канонические уравнения
Г 11^1 |
“Ъ Г 12^2 + |
• * • - { - |
К щ |
= |
0; |
Г"21^1 + Г22^2 |
***”{“ К<ьр —0; |
||||
|
|
|
|
|
(91) |
ГЛ1%1 |
Н" ГП‘2%2 4" * * * *Ь К п р |
= |
О! |
||
здесь г/* — единичная |
реакция, |
т. е. |
реакция, возникающая в 1-й |
||
дополнительной связи при равном единице смещению по к-му направле нию (при неподвижности остальных дополнительных связей); Д,-р — реакция, возникающая в «-й дополнительной связи вследствие действия заданной нагрузки.
Ниже рассмотрены только случаи одночастотных колебаний: сво бодных колебаний по одной из собственных форм (когда искомыми яв ляются собственные частоты) или вынужденных колебаний под действием моногармонических возмущающих сил (когда искомыми являются амплитуды колебаний). В этих случаях величины 2*, входящие в урав нения (91), представляют собой амплитуды перемещений, а коэффи циенты Г{ь и свободные члены Я/р — амплитуды соответствующих реакций.
Выражения для определения коэффициентов г/* в зависимости от схемы стержня, входящего в основную систему, и от типа заданного единичного смещения приведены в табл. 15 (функции 5, Т, V , V см. в табл.4).
Свободные члены К1Рв зависимости от схемы стержня для случаев, когда возмущение задано в виде сосредоточенной посередине пролета силы Р $ш (1)*, определяют по формулам табл. 16.