Свободные колебания (приближенные исследования) |
311 |
Формула Донкерлн
В отличие от ранее приведенных формул, формула Донкерлн дает всегда заниженные значения основной собственной частоты колебаний. Согласно этой формуле при продольных и изгибных колебаниях
|
‘ |
I |
|
Р- |
1 : | |
т (х) 5 (х, х) Ах -(- 2 т& (х/, х,) , |
(54) |
|
.о |
|
|
где б (х, х) -—функция влияния, т. е. перемещение сечения с абсцис сой х под действием единичной статической силы, приложенной в том же сечении. При крутильных колебаниях
' /
Р*= 1 : | / (X) Ь (X, X) Ах + 2 |
{XI, х{) |
(55) |
о |
|
|
причем 6 (х, х) — угол поворота сечения с абсциссой, определяемой от статического действия единичного крутящего момента, приложенного в том же сечении.
Способ последовательных приближений для определения первой собственной частоты колебаний
Согласно этому способу первую собственную частоту изгибных ко лебаний определяют в следующем порядке:
а) задаются формой колебаний Х ^ (х ), верхний индекс обозначает
номер приближения. |
Функция |
Х(0) должна удовлетворять |
условиям |
|
закрепления концов |
стержня; |
|
по формуле |
|
б) определяют силы инерции |
|
|||
|
$<0>(*) = |
ш |
(*)Х (0)[/>(0)]2- |
(56): |
Значение р^ принимают произвольно, но чем ближе принятое зна
чение р к истинному, тем быстрее будут завершены указанные далее операции;
в) способами теории сопротивления материалов (чаще всего путем численного интегрирования или графо-аналитически) находят пере
мещения X*1*(х), вызываемые нагрузками (56); функция X*11 (х) яв ляется улучшенным приближением к истинной форме колебаний;
г) вычисляют первое приближение для квадрата собственной ча стоты по формуле
[рО>]* = _ « ------------------------------ |
; |
(57) |
(* т (*) [Х(1) (х)]2 Ах |
|
|
о |
|
|
д) найденную форму колебаний Х (1) (х) |
принимают за |
исходную |
и повторяют выкладки, указанные в пп. а—г;.таким способом получают собственные форму и частоту во втором приближении.
Свободные колебания (приближенные исследования) |
313 |
|||||
Собственные частоты определяют из уравнения частот |
|
|||||
Т'пР2— ^11» АгР2 — ^12* |
Т\пр- — Цщ |
|
||||
7*21Р3— Сц, Т22Р2 |
^ 22» • • •! Т'гпР2 — ^ 2Л |
|
||||
Т щ р 2 |
С П \ 1 Т П й Р 2 |
^ Л 2 > |
Т п п Р “ — V п п |
|
||
Некоторыми преимуществами обладает другая форма уравнения |
||||||
частот |
|
ТХ2-р*У 1г, . . . , Т т -р*У 1П |
|
|||
Т п - р П 'и . |
|
|||||
Т21 |
Р“У21> 7*22 |
Р^У ...Т’гя— Р2^2« |
(64) |
|||
|
|
|
|
|
' = 0 , |
|
7/11 |
Р2Ущ1 |
Тпъ |
Р~УП2 . • |
• * , Тпп |
р2Уп |
|
где |
I I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^1к= 1 1 6 (*’ ^ ^ ^ |
^ м |
х?с ^ ах |
(65) |
|||
В случаях изгибных и продольных колебаний величины У,ь можно |
||||||
определить также соответственно по |
формулам |
|
||||
|
I |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
(66) |
причем изгибающие моменты М( и Мь и продольные силы N1 и определяют от нагрузок тХ( и гпХь.
Метод Галеркина
Как и по методу Ритца, по методу Галеркина можно получить не сколько низших частот. Согласно этому методу образуют последователь ность функций Х г (х), Х 2 (*), . . Хп (х), удовлетворяющих как кине матическим, так и динамическим граничным условиям, затем опреде ляют значения Т(ь по первой из формул (62), а также величины
|
I |
|
|
|
|
К 1к = $ ^ х : у |
Хк <1х |
(67) |
|
|
О |
|
|
|
(для случая изгибных колебаний). |
|
|
||
После этого получается уравнение частот в виде |
|
|||
тпр* - ^11. |
тпр* - |
и?12...... т1Пр - - \ У 1П |
|
|
Т п р г — |
Т'ггР3 — №22» |
7\п Р 2— ^ ч п |
(68) |
|
|
|
|
0. |
|
Т щ Р 2 - |
Т п2р 2 - |
1УП„ |
Тппр* - \Рпп |
|
314Свободные и вынужденные колебания стержней
Вслучае продольных колебаний
I |
|
ф [к = - § ( Е Г Х ‘() ‘Хк <1х, |
(69) |
а в случае крутильных колебаний |
|
/ |
|
*1Ь = - $ ( Ы р < У Хк**. |
(70) |
Оценки С. А. Бернштейна
Для определения границ, между которыми располагается первая собственная частота, можно использовать формулу С. А. Бернштейна
I |
, „2 |
„ |
2 |
(71) |
V Вг |
1 |
В1 + У ж 2 — В\ |
||
где |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
Вх = Г т (х) 6 (*, |
х ) д х + ^ гщЬ (х{, л**); |
|||
о |
|
‘ |
|
(72) |
I I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во = Г Г т {х) т (5) б (х, |
5) йх |
|
(**> *к)- |
|
о о |
|
|
1 |
к |
Вторая формула С. А. Бернштейна |
|
|
||
|
2 |
9 |
|
(73) |
|
Р\> - |
|
|
|
в ^ - У щ - в ]
дает оценку для нижней границы второй собственной частоты.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Гармоническое возмущение. Замкнутая форма решения
При действии гармонического возмущения (силового или кинема тического) стационарный процесс представляет собой гармонические колебания с частотой возмущения со.
Продольные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных продольных колебаний стержня постоянного сечения имеет вид
д2и |
_1_ дЧ |
_ |
Р{х) |
(74) |
дх* + |
а/а |
” |
51П СО/, |
|
е р |
|
где Р (х) 5Ш со/ — интенсивность возмущающей силы.
Решением дифференциального уравнения в |
частных производ |
ных (74) служит выражение |
|
и — V (х) зш ш/, |
(75) |
Вынужденные колебания |
315 |
где форму колебаи й определяют из обыкновенного дифференциального уравнения
|
Vе Н- - |
-{/ = |
— |
Р[х) |
(76) |
|
|
|
|
ЕР |
|
в виде |
|
|
|
|
|
и = Л 31П ~ + В |
с |
ю |
| |
Р (х) 51П ^ ~ ^ <11 |
(77) |
|
|
|
I) |
|
|
Постоянные. А ч В определяют из граничных условий на концах стержня.
В тех случаях, когда возмущающая сила не распределена непрерыв ным образом; а приложена в нескольких сечениях, уравнения (74) и (76) становятся однородными (для каждого из участков, свободных от нагрузки), а возмущающая сила входит в граничные условия.
Пример 9. Определить динамический коэффициент для консольного стержня, свободный конец которого испытывает действие продольной силы
|
|
|
Р = |
Р0 8Ш 0(. |
|
|
|
|
(78) |
|
|
Поскольку распределенная возмущающая нагрузка отсутствует, по фор |
|||||||||
муле (77) находим |
|
А 51П —а— X + |
В С05 |
|
|
|
|
|
||
|
|
и = |
а |
X . |
|
|
|
|||
|
Из граничных |
условий |
|
и' |
|
|
|
|
|
|
|
|
С/(0)=0; |
(О = |
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = 0. |
|
|
|
||
|
|
|
ы Е р |
СО5 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
роД |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц)Ер СОЛ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуда колебаний |
конца стержня |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
и (0 = |
роД |
|
|
|
|
|
(79) |
|
|
|
ыЕР |
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, |
динамический |
коэффициент |
будет |
|
|
|
|||
|
|
** ” |
РЛ |
а . |
ы1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ц (/): ЕР ~ |
6 |
а |
|
|
|
|
||
При -5^- = —р-, -5р-, -рр- |
наступает |
резонанс, |
а |
при |
= я, |
2я, |
||||
Зя, |
_ антирезонанс (точка приложения внешней |
силы |
остается |
непо |
||||||
движной). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Крутильные колебания. Закономерности крутильных колебаний описывают теми же соотношениями (74)—(77), если заменить линейное смещение и (х, {) на угол поворота <р (*, I), распределенную продоль ную нагрузку Р (х, () — на распределенный крутящий момент р (х, О* а также если под V (х) понимать функцию, определяющую амплитуды колебаний углов поворота сечений.