Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

306

С вободн ы е и вы нуж ден н ы е к о л е б а н и я ст ер ж н ей

Вл1| -риант

1

12. Выражения квадрата собственной частоты

Продольные

Крутильные колебания

Поперечные колебания

колебания

1

1

1

| Е Р ( Х ') 3ёх

 

| Её (X")3 ёх

0

 

0

1

| IX2 ёх

| тХ2 ёх + '%т(Х2

| тХ2 ёх + 2 т 1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

|

ёх

 

 

1 * 1 *

 

 

| Мг ёх

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

| тХ2ё х - ^ ^ т . х ]

|

IX 2 ёх +

2 ^ * ]

тХ2 ёх + 2

т1 х2(

 

|

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

| <7(*) х

 

 

| р. (х) X ёх

 

^ <7(х) X ёх

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тХ2 ёх + ^ т 1Х2

 

|

тХ2 йх + 2 " * ^ /

|

/Х2 ^

+

2

 

|

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1 ,

(х) х

ах + 2

Р,Х(

^ ц (*) X ёх +

2

|« ( * ) х а х + ^ Р 4х (

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

^ тХ2 ёх + 2

т1 * \

| ' * 2 -

+

 

М

^ тХ2 ё х + ^ т ^ 2;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

^ т Х ё х + ^ т ^ !

 

 

 

 

 

|

тХ ёх + 2

т1Х1

5

& 1

 

 

 

 

 

 

Г

0

 

 

 

 

 

 

 

 

е

1

т{ А

 

|

тХ2 ёх + ^ т ^ 2

 

 

 

 

 

|

тХ2 ёх + 2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О б о з н а ч е н и я :

 

т (х) — интенсивность

распределенпой

 

массы; т1— сосредоточенные массы:

1 (д:) — момент инерции единицы

 

длины стержня отпоснтельно его

оси;

/^ — моменты инерции дисков.

Свободные колебания (приближенные исследования)

307

Вариант 1 предполагает определенный предварительный выбор функции X (х), описывающей перемещения стержня при колебаниях.

Вариант 2 не отличается от варианта 1, если задаваться функциями

X (х), а внутренние усилия определять по формулам

 

Ы = ЕРХ'\ МК= (МРХ'\ М = Е1Х\

(45)

Однако можно задаваться распределением внутренних усилий N (х), Мк (х) или М (х) и путем интегрирования соотношений (45) определять соответствующие функции X (х).

В варианте 3 сначала задаются, некоторой нагрузкой ц (х) [или моментнон нагрузкой р (х) в случае крутильных колебаний] и затем определяют вызываемые этой нагрузкой перемещения X (х).

Вариант 4 близок к варианту 3, но относится к случаю, когда зада­ ваемая нагрузка содержит также сосредоточенные силы Я/ или сосре­ доточенные крутящие моменты р/. Наибольшей определенностью об­ ладает вариант 5; здесь в качестве нагрузки <7(х) [или р (х)] принимают фактические веса единицы длины цт (х).

Применение вариантов 1—4 может привести к точным результатам (в вариантах 1 и 2 — если принимаемые функции точно совпадают с истинной собственной формой колебаний, в вариантах 3 и 4 — если принимаемые нагрузки пропорциональны истинным силам инерции, развивающимся при главных колебаниях). В остальных случаях, а также при пользовании вариантом 5 результаты вычисления собствен­ ной частоты получаются завышенными.

Пример 7. Определить основную частоту изгибных колебаний (рис. 6).

Рис. 6 Сначала воспользуемся вариантом 1 и примем

(46)

Теперь находим

I

I

0 0

н согласно варианту I табл. 12 определяем

2 _ 4/Г-/ . _т/__^0Е7_

р ~ I* ‘ 5

т1*

(47)

что заметно отличается от точного результата

(48)

308 Свободные и вынужденные колебания стержней

Причину столь большого расхождения следует видеть в недостаточно

удачном выборе функции X (х).

По варианту 2 зададимся не формой изгиба, а выражением изгибающего момента. Примем

-(-Я *

нинтегрируя 2 раза соотношение

Е^Xп

I

-------- - 5- (1 — - Г-)3 + с '

Е./Х 4 ( 1- * ) Ч * + в .

Из условий на правом конце

X (I) = 0; X' (/) = 0

С = 0; 0 = 0,

Теперь по варианту 2 т

:одим

 

 

 

108ЕУ

" И т й

г М

Ч Т *

(49)

Гораздо лучшие результаты получаются по варианту 4, если принять в качестве функции X (х) кривую изгиба, вызываемого сосредоточенной си­

лой Р на конце стержня (рис. 7, а).

 

 

 

При этом

,

Р1% ( х*

3*

, _\

V,

Л м

”

• щ ' (т*—

г

+ 2)

 

 

Р1‘

 

 

 

 

 

гЕ^

 

 

140Е^

Следующее отсюда значение собственной частоты

 

 

3,63

1 / "

е7

(60)

 

р

“ Т1"-

V

т

 

 

чается от точного значения

(48).

Свободные колебания (приближенные исследования)

309

Согласно варианту 5 необходимо принять за функцию X (х) кривую ста­ тического изгиба, вызываемого равномерно распределенной нагрузкой (рис. 7, б)

(51)

При этом

тХ ((х =

т:&1*

_

Р

тХ* ёх =

13т*ё*1*

20Сё

’

)

3240 (Её)*

По формуле табл. 12

 

I

 

 

 

 

 

 

 

ёх

 

 

 

 

|* тА

162ЕУ

Рг = 6

0

 

 

/

 

 

т а *

*

1шА'г Лс

(52)

что очень близко к точному значению (48).

Формула Граммеля

Формула Граммеля также дает всегда завышенные результаты и в за­ висимости от вида колебаний принимает форму, указанную в табл. 13.

13. Формулы Граммеля для определения квадрата собственной частоты

Вид колебаний

 

Формула

 

/

 

 

 

|

тХ2ёх + ^

Продольные

0

1

 

 

 

 

 

Ы'ёх

 

 

Г

 

 

3

Её

 

 

0

 

 

1

 

 

 

|

/ X2 Лх + 2 / ,.х?

Крутильные

0

1

 

 

 

 

 

Г л,1йх

 

 

5

а1<>

 

1

 

 

 

|

тХ2 Лх + ^

Изгнбныс

0

1

 

 

 

 

 

м* ёх

 

 

Г

 

 

ё

Её

 

 

0

 

310 Свободные и вынужденные колебания стержней

Перед вычислением собственной частоты, например изгибных коле­ баний, нужно задаться формой колебаний X (*) и, приняв за нагрузку я произведение

Я(*) = т Сх) X (х),

определить изгибающий момент М (х) из дифференциального уравн ЛГ = </(*).

После этого найденное выражение подставляют в формулу Граммеля, которая дает более точные результаты, чем формула Рэлея [при том же выборе функции X (*)).

Пример 8. Определить собственную частоту колебаннЛ консоли (рис. 6) по формуле Граммеля. Полагая

* м - М г + ж )

[что соответствует выражению (51) в решении по формуле Рэлея], принимаем за нагрузку выражение

,’= т ( 1- ^ г + - ^ - )

Двухкратным интегрировагронинем находим изгибающийн< момент

-

/ х*

2л:3

.

хв

\

 

 

 

М=

 

9/

+

90/* )

 

 

 

1~ т [ 2

 

 

 

и далее определяем

 

I

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

Г тхг</*= 0,2568/л/;

[ М*?Х’ =0,02077

Еа

 

 

 

•

I

 

 

 

 

 

 

Теперь по формуле для изгибных колебаний в табл.

13 находим

 

 

.

12.36ЕУ

 

 

 

 

 

 

Р

т1*

 

 

 

 

 

 

р =

3,51 - ]

/

"

(

5

3

)

Р

I1

V

т

 

 

 

 

 

Вариантом записи формулы Граммеля является формула Гогенем* зер-Прагера (табл. 14).

14. Формулы Гогенемзер-Прагера для определения квадрата собственной частоты

Вид колебаний

 

Формула

 

 

1

 

1

 

Продольн

Г <лпг ах

С

^ ах

 

0

т

‘ ^

ЕЕ

 

0

 

0

 

Крутильные

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

1

(м“)г ах

1

 

Поперечные

Г

Г

м*ах

0 т 0

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры