Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

376	Колебания"пластинок

здесь т а = 1, 2, . . . — число полуволн в направлении оси х2\ Сх,х — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий при хг = 0, хх = ах\ постоянные а, р зависят от частоты колебаний

_1_

а = (к- + <о.) 2 ;

_1_

Р = (ш ,- А 2) 2

Будем обозначать С — защемленный, 5 — опертый, Р — свободный края. Уравнения частот для различных комбинаций условий на краях

хх — 0 и хх = ах будут

		5	— 5:	31П Рах =		0;
	5 — С:		а(7г —			Ра1 = 0;
	5 —Р:	а 1Ь				ра, = 0;
С - С :
С — Р: 2 (1 +			аЬ) +	(а +	Ь) сЬ а ах со$ Рах +		(23)
С — Р: 2 (1 +			аЬ) +	(а +	Ь) сЬ а ах со$ Рах +
Р — Р:
(а	а2 — \к г				ь	Р* +	\
(а	а2- (	2 - V )* 2 '*				Р2 + (2 — ч) к2	) '

Значения безразмерного параметра частоты р при различных гра ничных условиях приведены в табл. 1 [19, 28].

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 377

м2д®рЛ

Частоты р = —-----— прямоугольной

опертой по сторонам дг*=0; а, (5—5) при различных условиях на сторонах хг = 0, аг

Пластинка, защемленная по контуру. Задача об определении частот и форм свободных колебаний защемленной по контуру прямоугольной пластинки не поддается решению в аналитической форме и может быть решена лишь приближенными методами. Удобно искать формы собствен ных колебаний в виде произведения балочных функций Рт (х), соот ветствующих балке с защемленными концами

№тп — СтпРпх (-Ч) Рп (-'а)-

Применение формулы Рэлея-Ритца дает приближенное значение для частоты собственных колебаний

\| П	и - +х '- « [ ( ^ Й г Г - ^ '- 2 г ]						ёх14хл
Р/1			п
			п
или после интегрирования
	Р	(	Ап	^ ВтВп	1_
	Р	(	Ап	^ ВтВп	2 .
	рЛ	^ а\	а\	а\а1	2 .
	рЛ	^ а\	а\	а\а1
здесь
1,506	( т =	1)		1,248		(т =	1)
1+ 0,5 ( т ^		•	Вт = \	/	9 \
1+ 0,5 ( т ^		2)}	П4,„ 1 ^ А Ш — — ^			{ т ^	2).

378	Колебания пластинок

Результаты вычислений безразмерной частоты

®- = Ч ( - § ) 2 »

полученные методом Эдмана [35], приведены в табл. 2.

2. Частоты со* = (рЛД))1^2 собственных колебаний защемленной по контуру прямоугольной пластинки при различных отношениях

сторон	(т1, п\г — числа полуволн			соответствующих		форм колебаний)
ш,	«1
ш,	а,	1	2	3	4	5	6
	а,

1	1	35,999	73,405	131,902	210,526	309,038	428
1	1.5	27,012	65,5	126	206	303	422
	2	24,58	64,1	124	204	302	421
2	1	73,405	108,237	165,023	242,66	340,59	458,27
2	1,5	41,715	79,81	138,64	218	316,11	436
	2	31,833	71,08	130,35	210	308, 12	427
	1,5	131,902	165,023	220,06	296,35	393,36	509,9
	1,5	66,533	103	161,234	241	339	457
	2	44,779	83,2	142,38	221	320,12	439
	1	210,526	242,66	296,35	371,38	467,29	593,8
	1,5	100,81	136,096	193,24	271,17	369,34	488
	2	63,34	100,80	159,49	238,35	337,08	456
5	1	309,038	340,59	393,36	467,29	562,18	676
5	1,5	144,21	178	234,65	312	409	529
	2	87,26	124,2	181,79	261	358,0	478
6	1	428	458,27	509,9	583,83	676	792,5
6	1,5	195	230,04	285,4	361,90	456	576,6
	2	117	151,91	209,6	287,54	382	504,3
Сопоставление^		результатов вычисления			различными		методами

частот квадратной (сх = а2 = а) пластинки, защемленной по контурУ| дано в табл. 3.

Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 379

3. Безразмерные частоты			свободных колебаний
защемленной по контуру квадратной пластинки
			т
Метод			п
Метод		1	2	2
		1	2	2
		1	1	2
Рэлея-Рнтца (первое прибли		37,46	74,84	108,13
жение) . .	. .	37,46	74,84	108,13
Рэлея-Рнтца	. .	35.99	73.41	108,27
Эдмана . .		35.999	73,405	108,237
Вайнштейна		35.99	70	105
Саусвелла		32,816	67,87	97,86
Игути . . . .		35.99	73.41	108,22
Метод рядов		35,7	75,0	107,8

Игути [30] при определении частот и форм собственных колебаний защемленной пластинки искал формы колебаний в виде, удовлетворя ющем условиям защемления

	7	. Л/Н1ГЛ2 IГ'хг (1 — ад)2 + ( - !)
	ш«. т.
		____51п лщ хА Г Ха (А-г -					— о^)2	,
		пщ		а*	\ \		,3
		пщ		а*	\ \		4"2
	+	( - I)"1*			-	4	- зи, ^
						ят2
	Это выражение подставлялось в дифференциальное уравнение
			0 ЛДю — рНю2ш = 0.
	Левая часть раскладывалась в двойной ряд Фурье
		V I		пшл			лпи	_
		2 а	~	5Ш - Б Г * » = 0 -
		т1, тг
	Частоты и коэффициенты					определялись из уравнений			вида
				ат1тг
	Результаты	вычислений		Игути		для	параметра частоты		а =
=	соа^ (рл/0 я4)1/2 для		квадратной		пластинки (а1 = а 2) приведены
в	табл. 4 (см. также табл. 17).

380		Колебания пластинок
	.	Частоты ° =	Ш 01	( рЛ \ 1/2		и Ф°РМЫ	колебаний
	.	Частоты ° =		1-^-1		и Ф°РМЫ	колебаний
		защемленной по контуру квадратной пластины
Узлоп					Узловые ЛИ И11II
		3,0*16				+ ( - ) +	13,393
						чУ у
+		7,437				и	16,717
						и

-	+	10,965					24,631
+	-	10,965					24,631
+	-

Пластинки, свободные по контуру. В этом случае граничные услоия принимают вид

д-уц	.	д2ы> _	.	.0 _	.	д3ы/	= 0	(хх =	0, аД;
д х *		д х \	д х *			д х ^ д х *	= 0	(хх =	0, аД;
д х *		д х \	д х *			д х ^ д х *
д2ьи	,	д2ш	~Т Т +	(2 ~	ч	д3ии	= 0	[х2=	0, аг).
т т	Т" V ~Т~2 =		~Т Т +	(2 ~	у)	п о -—	= 0	[х2=	0, аг).
дхг,		дх\	дх'1			дх\ дх2

Для решения можно применить метод Рэлея-Ритца, используя при приближенном определении форм свободных колебании балочные функции, соответствующие балкам со свободными концами:

0У//1|Л«а “ иШ1Шв^'|П,

^!Пг (^2)*

Применяя формулу Рэлея-Ритца, получим в первом приближении

со == л2	о_	+
	р/х

_1_ „. + и - ^ с ш с (П!] 2 .

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры