382 |
Колебания пластинок |
Другие случаи опорного закрепления. В общем случае произвольных граничных условий проще всего использовать первое приближение по методу Рэлея-Ритца, выбирая в качестве аппроксимирующих функций произведение балочных функций, соответствующих балкам с анало гичными граничными условиями:
|
|
|
“Ч ш . = с т , т / т ! Ы Р т ! Ы , |
|
|||||
где т1— число узлов функции Р ^ |
(*,). |
|
|||||||
|
Формула Рэлея-Ритца дает приближенное значение соответствующей |
||||||||
частоты собственных |
колебаний |
|
|
|
|||||
|
( |
й |
(л <‘>4 |
Л<2> \ |
2 |
|
|
_1_ |
|
(0 = |
|
|
2 |
||||||
( |
р" |
1 4 + |
4 |
4 |
4 |
[уВ<1>В<2, + ( 1- г)С<1»С<2>] |
|||
|
|
|
|
||||||
|
Постоянные Л*11, В^ |
и С{1* зависят только от граничных |
условий |
||||||
при хг = |
0, ах. Соответственно, постоянные А®\ В^ и С ^ полностью |
||||||||
определяются граничными условиями |
при х2 = 0, а2. В табл. |
6 даны |
|||||||
значения постоянных А, В, С при различных сочетаниях краевых усло вий на противоположных сторонах пластинки (С — защемленный, 5 — опертый, Р — свободный края).
Более высокие приближения безразмерных частот, вычисленные по методу Рэлея-Ритца, приведены в табл. 7.
Свободные колебания пластинки, опертой по контуру и в отдельных точках внутри области. Пусть прямоугольная плита оперта по контуру и, кроме того, в точке с координатами х± = у1, х2 = Уг• Если 0 — ча стота свободных колебаний такой пластинки, то в точке опирания воз
никнет сила реакции |
Ре**1. Решение этой задачи известно: |
|
||||
|
|
ш(*1; х2\ О |
4Рет |
X |
|
|
|
|
|
|
а^р Л |
|
|
|
|
|
|
|
71И1оХп |
|
|
V |
Д1 |
Од |
|
а, _ |
(24) |
|
|
|
|
|
|
|
где |
— частоты свободных колебаний прямоугольной пластинки, |
|||||
опертой по контуру. Равенство нулю прогиба в точке опирания дает уравнение частот
(*ш |
(вы |
л'М а- ) а |
|
2 |
|
■= 0. |
|
\ |
/ |
||
т^та |
384 |
Колебания |
пластинок |
Частоты |
и |
формы свободных колебаний |
|
прямоугольных пластин |
|
Например, для квадратной пластины (аг = а2 — а), опертой по контуру и з центре, низшая частота будет
0 = 5,33 - ~
а*
Форма колебаний определяется выражением (24).
В случае N точек опнрания условия равенства нулю прогиба в этих точках дают N однородных уравнений относительно N сил реакции. Из равенства нулю определителя этой системы вытекает уравнение частот. Формы колебаний можно получить, определив взаимосвязь сил реакции в точках опнрания.
Свободные колебания прямоугольных пластинок с сосредоточенными
массами. |
Пусть 0 — собственная частота |
колебаний |
опертой |
прямо |
угольной |
пластинки с сосредоточенной |
массой т в |
точке |
= Уи |
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 385
ха= !/2- Тогда в точке приложения массы действует сила Реш . Решение такой задачи дано формулой (24). Решение дифференциального урав нения движения массы
т _^ У , У ^ ) _ = Р вМ 01*
приводит к уравнению частот
2 ( йп « щ ь у ( 5, п ^ - ) я
Р1Д2Р6
4т
1
02
Если величина сосредоточенной массы т мала по сравнению с мас
сой пластины а^ДпрЛ = т* |
|
|
|
(25) |
|
то приближенно можно записать |
|
|
( Зш |
0 (лг, л2= 1, 2, . . .); |
|
4 т |
||
|
||
- — 1 |
|
|
отсюда приближенно |
|
ап (?) = 2 (з1п пп%)2.
В случае N сосредоточенных масс формула (26) усложняется:
N
2 |
(26а) |
|
При других граничных условиях и применении метода Рэлея-Ритца в первом приближении может быть использована формула (26а). Зна
чения |
функций ап (|) при различных граничных условиях даны |
в табл. |
8 [18]. |
Колебания прямоугольной пластинки переменной толщины. Диффе ренциальное уравнение для определения свободных форм колеба ний пластинки переменной толщины вытекает из уравнения (4):
1ц)— р}ю21Л) — 0.