386 |
|
|
Колебания пластинок |
|
|
|
|
||||
|
8. Значения функции ая (&) для различных условий |
|
|
||||||||
|
5 - - 5 |
5 - -с |
|1 |
с - -С |
| |
С -- Р |
|||||
Б |
|
|
|
|
ад при п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
0,00 |
|
0,» |
0,19 |
0,69 |
0,31 |
0,84 |
|
0,04 |
0,21 |
0,00 |
|
0,03 |
|
0,2 |
0,69 |
1,81 |
1,07 |
1,94 |
|
0,37 |
1,46 |
0,02 |
|
0,36 |
|
0,3 |
1,31 |
1,81 |
1,86 |
1,44 |
|
1,20 |
2,27 |
0,08 |
|
1,11 |
|
0,4 |
1,81 |
0,69 |
2,27 |
0,18 |
|
2,12 |
1,07 |
0,21 |
|
1,87 |
|
0,5 |
2,00 |
0,00 |
2,09 |
0,33 |
|
2,52 |
0,00 |
0,46 |
|
2,04 |
|
0,6 |
1,81 |
0,69 |
1,46 |
1,74 |
|
2,12 |
1,07 |
0,85 |
|
1,39 |
|
0,7 |
1,31 |
1,81 |
0,72 |
2,23 |
|
1,20 |
2,27 |
1,38 |
|
0,40 |
|
0,8 |
0,69 |
1,81 |
0,21 |
1,15 |
|
0,37 |
1,46 |
2,10 |
|
0,02 |
|
0,9 |
0,19 |
0,69 |
0,02 |
0,15 |
|
0,04 |
0,21 |
2,97 |
|
1,10 |
|
1,0 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
0,00 |
0,00 |
4,00 |
|
4,00 |
|
В декартовой системе координат (НЛ= |
= 1) оператор имеет вид |
||||||||||
|
|
|
|
/ |
дР |
. д2 |
дР |
_а2 |
\ |
|
|
|
|
(1- |
|
|
|
дх> |
л |
_ |
+ |
||
|
|
|
1 \ дх1 |
дх\ |
дх, |
дх2 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
*1 |
|
||||
|
|
д |
1 дР |
д2 |
|
дР |
а3 |
)]' |
|
|
|
|
|
дх2 |
1 * 2 |
дх\ |
|
дх1 |
дх^ дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При определении частот и форм колебаний пластинок переменной толщины проще использовать приближенные методы. Для защемленной по контуру прямоугольной (— плиты
можно применить метод Галеркина, задаваясь выражением для про гиба
|
|
N |
АтпФтп (*1» *2) = |
|
|
® ~ 2 |
|
|
|
т, п=I |
|
= |
2 |
Ап п (х1 -а Х ) " ' + ' ( 4 - 4 ) ' ‘+' |
|
|
т, п= 1 |
|
|
или в другой |
нумерации |
|
|
№
=2 А№>к{*ъ х2). к= 1
Применение ортогонализации согласно методу Галеркина дает
2 |
<о*рл/) = 0 (I = 1 |
Ла); |
А= 1 |
|
|
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 387
здесь приняты обозначения
ак1 = |
Л х ! с1 х 2 \ |
|
|
«I |
«а |
Рл/= | |
| р!ткщ йхх йх*. |
Из раренства нулю определителя полученной системы однородных уравнений вытекает уравнение частот. Первое приближение дает
Р11
Если р = соп$1, а толщина меняется по закону
Л = Л 0 |
[1 + с (* ? + * * )]3 |
^ > — ^ ^ |
2- ) ’ |
а 11 |
= #оа1а2 (20,80 (а* |
0,57^2 + |
+ |
+ 14,86с [(1 — 0,26^ а\а\ (а\ + а$) + 0,13 (а® + а®)] |*.
рп = 0,660^2 [1 + 0,03с |
+ а^) — |
— 0,002с2 (а} + 0,79а2а2 + а|)] рЛ0.
При вычислении (5П предполагалось, что
к I< о ‘ , •
«1 + 02
При с = 0; ах = аа; V = 0,16 отсюда получаем
|
|
_ |
9 |
/ |
Я \' |
|
|
’ |
а\ |
\ |
рл) |
что |
отличается от точного |
значения на 0,04%. Эта задача решена |
|||
И. |
Я. Белоцерковским в |
1962 |
г. |
|
[3]. |
Метод сеток для исследования колебаний пластинок переменной толщины применил В. С. Гуменюк [11]. В табл. 9 приведены выражения для безразмерного параметра частоты
ОзрЛсо2
“ = (9,5)аО*
соответствующие первой форме колебаний пластинки с линейно меня ющейся толщиной при различных краевых условиях.
388 |
Колебания пластинок |
9. Частоты |
0 )* != -^ - ] / " 4-[*в + *•“ ^<Л о -Л ,)2+4А,А,] |
а 1
колебаний прямоугольной пластинки с линейно изменяющейся
|
|
(Л|^1=0 = Ло; |
/»|Х1 = д, =/« 1 ) |
толщиной |
|
|
||||
Граничные |
|
|
|
Постоянные |
|
|
|
|||
условия |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
*о = яо [ ( ',2+2) 2 + 1 - 8о - |
- Г |
5о ( 2+ V--2) ] |
= V |
|||||
1 |
|
*1 = Л'о [ ( '2 + |
2) |
(2г — 5о ) ---- г |
8о] = |
*1; |
|
|||
<? |
|
|
||||||||
1 |
|
*2 = Я2 [ ( г2 + |
!!) |
(2г + «,) + |
- |- |
*?] = *2: |
|
|||
—а , - |
|
|
||||||||
|
|
* 3 = ^ 2 [ ( г2+ |
г)2 + 1 + 51 - - Г |
51 (2 + 3^ 2) ] |
= »3 |
|||||
\ |
|
АО= * О + < 0 + 8о)*О: *1 = *1 + 4 “ ( , + 5 о) 4 |
||||||||
\ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к§ = кя; |
кя = Аз |
|
|
||
2ш ш ш |
|
к 0 ~ \ + 4 0 |
+ |
5о) Л0’ А1 = |
*1 ■+■~2 ~ С1 + 5о) % |
|||||
|
|
|||||||||
ьш т ш |
|
к2 ~ к2 |
~ |
0 |
“ 5]) |
*3 = ^3 + |
4 (* “ 81) ^1 |
|||
1 |
I |
к0 = *0 |
2~ г% |
*1 = |
^1* |
= *2» |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
|
|
|
= Лд + — |
г4Я| |
|
|
|||
ШДЖГА |
|
Л0 = *0 + Т - |
г4я0; |
*1 = \ |
’ |
|
||||
|
|| |
|
|
к2 = Ч + ~ т { Х- * \ ) А \ |
|
|
||||
т>»тА2
А3 —^З + ^'У" г4 + 4 (1 +
390 |
Колебания пластинок |
|
гДр &тп — символ |
Кронеккера. Тогда |
|
|
а, |
аг |
|
Чт =11 йхг (1х2. |
|
|
о |
о |
Выражение для прогиба запишется так: |
||
|
т—1 |
О 0 |
В случае опертой пластинки нормированные собственные формы
колебаний будут |
2 |
тплХу |
. лт2х2 |
|
|||
^/Л,/Л8 |
-----=— 81П -----— |
51П ----- — . |
|
|
,±_ |
а2 |
|
Для сосредоточенной силы Р в точке с координатами хх = уг, х2 =
= уа выражение |
для |
прогиба принимает вид |
|
^ |
1 |
тш л . пяи-1 . птху |
. пкх» |
4Ре»‘ \ |
|
— |
51П - 1 Г ^ |
°,а,Р |
|
м'ш— 6 2 |
|
т, п
Если амплитуда нагрузки ц постоянна, то прогиб определяется фор
мулой |
|
птх1 51П |
ппх2 |
|
|
§ш |
|
||
т |
|
|
а2 |
(29) |
|
™ (< 4 ,п - в 2) |
|||
171, |
71=1, 3, |
|
||
|
|
|
||
Если частота 0 возбуждающей нагрузки приближается к одной из собственных частот <йт, то амплитуда соответствующей формы коле баний неограниченно возрастает (явление резонанса). Исключением является случай дт = 0 (нагрузка ортогональна некоторой форме колебаний, работа внешней нагрузки на этой форме колебаний равна нулю). В этом случае нужна осторожность, так как малое видоизменение внешней нагрузки нарушает ортогональность. Для отыскания огра ниченного решения в резонансной области следует учесть диссипацию энергии вследствие внешнего и (или) внутреннего трения. При малом трении может оказаться необходимым применить нелинейную теорию.
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК ДРУГИХ ФОРМ
Пластинки, имеющие в плане форму параллелограмма. Дифферен циальное уравнение колебаний пластинки в косоугольных координа
тах 1х = хг — х2 а; = $ес а |
имеет вид |
ОА Дш — рЛ |
= 0. |