396 |
Колебания пластинок |
|
.. |
О Г а2аи . |
ЗЧя |
|
|
щ |
Общее решение уравнения (30) имеет вид
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ = ^ |
[ А \ т Се/л (^х, |
|) сещ (1/2» |
+ |
Агт Сет (У ь |
^ |
|
|||||
т = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X се#* (//г» — &)1 “Ь |
2 |
[^зт |
(#1 »&) 5вт (//а» |
Н“ ^4/и ^ |
|
||||||
|
|
|
т = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X 5вм (!/г» |
— |)5еГ«((/2, |
— 1)1 -|- |
2 Г®1/пРеут (^1* 5) |
^ 2' ^ |
|
||||||
|
|
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
+ В,», Рек,„ (&, |
- | ) с е т ((/2, |
- 5 ) |
+ |
2) |
[Вз т 0еуш (Л, 5) X |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
т = 1 |
|
|
|
(31) |
X зет (//2, |
|) “г # 4/л*Зект О/ь |
— &)5®т(1/2» |
|
1)Ь |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|десьСет , сет , 5ет » $ет» Реут» |
||||||
|
|
|
|
|
Рект , |
Оеут, |
С е к т — обычные |
||||
|
|
|
|
|
I |
модифицированные функции |
|||||
^атье |
порядка т; |
|
|
|
|
6 = |
4 -(« 1 — «г)а ® ^ Т Т - |
||||
Для пластинок без центрального |
|||||
отверстия постоянные |
Вьп сле |
||||
дует |
положить равными |
нулю. |
|||
Уравнение частот для эллип |
|||||
тической пластинки, |
защемлен |
||||
ной по контуру, имеет вид |
|||||
[Сеш (Уш. |)С е'(У ю . — I ) — 1С 4 ( у ш, |
I) Сет |
(</10, |
— |) ] |
X |
|
X [5 е„,(^о . $) Зет (Ую- - I ) — Ь*п (Ую. I ) Зет |
(Ую> |
— ?)] |
= 0 . |
||
|
|
|
|
|
(32) |
Первый корень уравнения (32) для эллиптических пластинок с полу осями а и Ь и различным эксцентрицитетом е дан на графике рис. 5 (ре-
Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения, сдвиг 399
В результате получается уравнение для определения функции г (^):
- 0 - + я* ( 1 + г2? г + ЗР2п4г’ |
(1 + г*) + V/-2 ] = 0 . (35а) |
Результаты вычисления периода колебаний т в зависимости от без размерной амплитуды колебаний р показаны на рис. 6, а отношение т| максимального полного ия к максимальному напряжению изгиба в зависимости от относи тельной амплитуды колебаний —на
рис. 7.
Эта задача рассмотрена Ху НанЧу и Германом [29].
Влияние начальных усилий в срединной плоскости пластинки. Пусть в плоскости пластинки действуют усилия Ии , Л/12, /У22. Тогда следует воспользоваться дифференциальными уравнениями (10) совместно с выражениями (11), (12). В декартовой системе координат уравнение колебаний будет
гла а , |
д-но |
д |
дьи . |
.. |
дна \ |
ОД Д а + рЛ |
|
= - ж - ( ^ п |
+ Н 1 2 - ^ - ) + |
||
+ |
д |
( .г дна . .. |
дна |
\ |
|
дх2 |
|
|
|
|
|
Если усилия Л^и, N22 И Иц удовлетворяют уравнениям
дЫхх |
. |
дИ12 |
0; |
М гг |
, |
п |
|
дх! |
' |
дх± |
дхх |
+ |
дхй "" ’ |
||
|
400 |
Колебания пластиной. |
|
|
||
то дифференциальное уравнение колебаний запишется так: |
|
||||
д2и) |
, д2и> , |
2Л^ |
д2т , Ж7 |
д2т |
(36) |
1)Д Ьм) рН ■ |
= Н ц — 2 ' + |
дхг дх2 |
й*2 |
||
<э/2 |
дх\ |
|
|
||
Пусть в прямоугольной пластинке, опертой по контуру (см. рис. 2), усилия N1 1 и N22 постоянны, а усилие равно нулю. Тогда свободные формы колебаний будут иметь вид
№тп ~ 1тп 5Й1 гппх1 51П плх2
Частота колебаний со в этом случае
ш = л 2 |
(37) |
( 2пЮ ) '
Из формулы (37) вытекает, что растягивающие усилия повышают частоту собственных колебаний, сжимающие — снижают.
Если хотя бы одноиз усилий # ц , М22 отрицательно и достаточно велико по абсолютной величине, то часть частот, определяемых по формуле (37), может быть равна нулю или мнимой величине. Амплитуды соответствующих колебаний будут возрастать неограниченно. Это свя зано с достижением или превышением критического значения по Эйлеру (пластинка теряет устойчивость).
^Пусть две противоположные стороны (л^ = 0, х± = аг) прямоуголь ной пластинки оперты, а на двух других заданы произвольные краевые условия.
Решение дифференциального уравнения (36) при Д^12= 0; №ц = = сопэ1; N22 = соп5{ удобно искать в виде
В» = / (-яга)81П ■ЛтХ1 .
а 1
Функция [ должна удовлетворять уравнению
^ _ ^ ( г а Ч рЧг) Г + |
= |
(38) |
|
|
Сопоставляя уравнение (38) с соответствующим уравнением при
2 л а |
|
|
|
/ = 0, |
(39) |
■ Т - и '/ Ч - т -1 т 4 - ^ |
л 4 |
||||
а\ ' |
а\ \ |
* |
|
|
|