Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания пластинок других форм

391

Выражение для оператора Лапласа Д будет

Д = зес2 а / ---- 2 5Ша — ---------		.
\Э 6?	эе, ев,	а й /

При малых углах (а ^ 15-^30°) в первом приближении для формы колебаний можно положить

и>,пп=!тпГ{,п (Е,) Г ? ( У .

где р\^ — балочные функции для соответствующих краевых условий. Формула Рэлея-Ритца дает приближенное выражение для частоты

и>тп =	_а ( Р у 1 А % <		АП*
	л2 зес	1а?	+ 4‘ +
	\ Рл /
+ - 4 т [ ^ й ,Э',2) + (1 - V) С<*>С« +			2 Лп» «СЙ>С® -
а\а2			_1_

-	2 5\|по(о<!»г(2) + о \|: 2>е»>)]

Значения Ат, Вт и Ст см. в табл. 6. Значения постоянных й т и Ет для различных краевых условий приведены в табл. 10.

10. Значения постоянных Б т н Ет

Граничные	Постоянная			т
условия	Постоянная	1	2	3	4
		1	2	3	4
5—С	Б	—8,1390	—25,696	—52,130	—89.174
5—С	Е	0	0	0	0
5—Р	Б	0,1274	0,0706	0,0490	0,0374
5—Р	Е	0,9991	0,9998	1,0000	1,0004
С—С	Б	—0,79800	30,909	58,783	161,97
С—С	Е	0	0	0	0
С—Р	Б	6,8020	—44,062	121,16	6647,0
С—Р	Е	8,7112	1,9281	2,0032	1,9998

Более высокие приближения по методу Рэлея-Ритца для параметра частоты

со = а^со

392			Колебания пластинок
		11. Низшие частоты		ш,, =<оа* соа* а (	* )	#
	ромбовидной пластинки при различных граничных условиях
Граничные условия				а°
Граничные условия			0	15	30	■15
			0	15	30	■15
-			36,11	36,67	38,16	40,08
			36,11	36,67	38,16	40,08
*	а		73,74	74,76	77,48	81,06
*	а		108,85	111,43	118,19	126,81
27			31,95	32,54	34,09	36,11
			63,66	64,76	67,68	71,47
			71,43	72,40	75,04	78,46
ЁУ			27,19	27,84	29,52	31,68
			60,69	61.73	64,48	68,06
			93,13	95.74	102,59	111,15
1*#г		"/	3,494	3,360	2,971	2,412
г		У	3,494	3,360	2,971	2,412
г		У	8,547	8,278	7,643	6,88
У	о У

12. Низшая частота ш* = ша* (^-)2 трапецеидальной консольной пластины

	1			*
	I		1	*
	I		1
а°	0),	а°		со*
О	3,533	0		3,533
9	3,706	6		3,718
18	3,910	12		4,153
27	4,243	18		4,750
36	4,822	24		5,995

Колебания пластинок других форм	393
для ромбовидной пластины получены Колом и Кадамбом	[32]. Резуль

таты вычислений ш* при V = 0,3 и при различных углах а, а также ре зультаты вычислений Бартона [22] для консольной пластины (V = 0,3) приведены в табл. 11.

Пластины, имеющие в плане фор му трапеции. Частоты и формы сво бодных колебаний могут быть най дены методом Рэлея-Ритца. Резуль

таты вычислений	Кадамбом и др.					[26] безразмерной частоты со* для
консольной трапецеидальной					пластинки даны в табл.				12.
Колебания треугольных пластин. В этом случае удобен метод Рнтца.
В системе координат уг, у« (рис.						3)	соответствующая		система урав
нений будет	Г Г [		/ д2ои \ 2			.	сРш	д2т
д	Г Г [		/ д2ои \ 2			.	сРш	д2т
<Эс„	] ] Г 1		(	ду\	)		У~ ду\	ду1 ду..
									д~и)
+ г Г [ ^ + “ 2(1										ду\ +
дю	д2ьи								дт)
Ч~2^ —— •—~т									Ж	4-
ду2	ду\	-	7	\| р й					Ж
		-	7	\| р й

+ №+	+ 7 [2{ьА+ “2(1~ ^ ( ж У +
+ 4 ( $ + а \ )	ди)
	~дуУ
	\| &Чх йуг = 0

Уч) .

а2 П1

Результаты вычислений Андерсеном [21] безразмерной частоты ю* свободных колебаний консольной пластинки, имеющей в плане форму равнобедренного (рис. 4, а) или форму прямоугольного (рис. 4, б) треугольника, приведены в табл. 13.

394	Колебания пластинок
18.	Частоты й>* = (Ш21 ( " ^ ) ^ ** ^ ормы СВободных колебаний консольной
	треугольной пластинки при различных отношениях а = ——

Форма колебаний

Г ::> О ::--

ГгТ :•••'

Форма колебаний

г - - .

	а
2	4	\|	8	14
7,149	7,122		7,080	7,068
30,803	30,718		30,654	30,638
61,131	90,105		157,70	265,98
148,8	269,4		493,4	863,6
	а
2	4			7
6,887	6,617			6,897

25,40

28,80

30,28

К более точным результатам приводит использованное Кристен сеном [27] приближенное представление пластинки как системы орто

гонально расположенных балок. Результаты вычислений безразмерной частоты

(о* = Ма» ( ^ ) 2

для консольной пластинки, являющейся в плане прямоугольным тре угольником, приведены в табл. 14. Для сравнения приведены резуль

таты эксперимента и вычисления по методу Ритца (использовано первое приближение).

Колебания пластинок других форм						395
			1
14. Приведенные частоты <а* = ша*			2	колебаний
пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника (а1= а 3 = о)
Метод определения			Номер формы
Метод определения	1	2 \|	3	4	5	6
	1	2 \|	3	4	5	6
Эксперимент...................	4,17	16,4	23.0	39,3	53,3	69,9
Разбиение на систему ба	4,35	16,8	23.0	38,9	53,6	60,3
лок ................	4,42	16,9	23,7	43,5
Метод Рэлея-Рнтца	4,42	16,9	23,7	43,5

Клейном [33] рассмотрены колебания треугольной пластин опертой по контуру.

Эллиптическая пластинка. Эллиптические координаты определя1

как два корня квадратного уравнения относительно					5:
	з — е1		= 1
	з — е1
Вид параметров Ламе упрощается, если				ввести новые		переменные
у1, у2 по формулам	1	___и	— (е1	е2)
У1	1	___и	— (е1	е2)
У1	= -	агей ■	е 1 — е 2
			е 1 — е 2
У2 =		1	250 — (<?1 е2)
У2 =	---- 2~ агссо$		ех—
			ех—
Параметры Ламе будут равны один другому:
н\ = н\ = н 1=			(сН 2ух — сов 2уг).
Линии у1 = сопз!	представляют		собой	эллипсы,	а	линии у2 =

= сопз1 — две ветви гиперболы. Дифференциальное уравнение колеба ний пластинки постоянной толщины в эллиптических координатах будет

о д	Да, +	рй	=	Ц-	(30)
.	1	/ а8	, у	\

+ в $ у

Моменты Мц , Мгг, Л112 и перерезывающие силы:

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры