Свободные колебания цилиндрических оболочек |
441 |
в перемещениях в упрощенной форме с учетом параметрических членов имеют вид (Д^,2 = 0)
ен |
\ ( & , 1—у |
а2 \ |
и* |
1 + у ш |
||||||
1— V2 |
[ \а*3 |
*" |
2 |
* |
дз2 |
) |
2 |
а* а5 |
||
|
|
. |
V |
|
дш 1 . |
д-их |
|
|
||
|
|
+ |
Я |
' |
дх |
1 ~ |
|
|
|
|
Е1г |
Г |
1+ V |
|
а *иг |
/ 1 |
|
V а2 |
а2 \ |
||
1 — V2 |
ь |
2 |
* дхдза*а$+ |
\ |
2 |
а*2 + |
д р 7 из + |
|||
|
|
|
1 |
|
диз |
|
|
д2иг |
|
|
|
|
+ Я 'И Г Ь ' Ф ; |
|
|
||||||
ей |
/V |
а% |
, |
1 |
а«2 |
, |
а» , г0По*а \ |
|||
т=^г Ы |
-а г+ т г -эг + ж |
+6'Л'ДАш) ■ |
||||||||
|
|
а2и> |
" 22 |
а2ау |
“ |
=-рЛ |
д2ю |
* |
||
|
|
дх2 |
а52 |
^ |
а/2 |
|||||
В случае свободного опирания краев решение можно искать в виде
|
|
Л |
|
тпх |
71ПЗ |
|
|
|
1*1 |
= |
С 0 8 — |
^ |
С 05 — ^ — |
|
|
|
и2 |
„ |
, |
лтх |
лпз |
|
|
|
= А2 з!п — -— 81П — |
|
|||||
|
|
. |
. |
птх |
тшз |
|
|
|
>= А3 |
51П ----^----С05---- . |
|
||||
Если пренебречь по сравнению с |
единицей величинами |
порядка |
|||||
ЬЩ} |
дз/гзроз |
|
к*р<йЩ/ |
|
|||
~ВГ ’ 3 также ----- Е |
и -----11 |
, то приближенное значение |
|||||
частоты можно определить по формуле |
|
||||||
|
“ а = ' ^ |
' (Я‘ + |
бг(^ |
+л!!)4(1~ ' ' 2 Г ,+ |
(26) |
||
+ |
(А3 Н-я3)2 [А3Фп + |
(я3 - |
1) Фм]) [(А.3 + я3)3 + п3]-‘ |
|
|||
|
( 1 - |
|
|
|
|
|
|
Формулу (26) можно представить также в виде ©2 = (4(1+в1<Рп .^ Я,ф22).
442 Колебания оболочек
Если в срединной поверхности оболочки действует сдвигающее усилие N1 2 , то формулу для частоты после дополнительных упрощений
можно записать |
|
|
|
|
|
|
©2 = |
(1 + |
+ |
§2^22 ~~ |
| ^ 121); |
|
|
здесь |
|
кп (А,2 + л2)2 |
|
|
|
|
5 - |
|
|
|
|
||
X4 + |
63 (1 — V»)-! (X3 + |
п3)1 • |
|
|||
Минимальное значение частоты |
три заданных фп , фаг, ф12, К, |
Л, I |
||||
и т достигается при значении п — лоПри фп = Фаз = 0, т = |
1 ве |
|||||
|
|
|
личину |
л о |
определяют по фор |
|
|
|
|
муле |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л0 = |
4,2(1 — V3) 8 X |
|
|
|
|
|
* ( |
)+ ( |
)+ |
|||
|
|
|
Это значение4 |
получено4 |
в пред |
|||
|
|
|
положении, |
что |
|
|
|
|
|
|
У*икр |
|
а.2 « л|). |
|
|
||
|
Рис. 14 |
|
|
(й/со0 |
от отно |
|||
|
|
Зависимость |
||||||
ражена |
на рис. 14 (эта |
кривая |
шения фха/ф12дгр |
при л = л 0 изоб |
||||
практически |
не зависит от геометри |
|||||||
ческих |
размеров оболочки); здесь |
|
|
|
|
|
||
|
«Риде» = |
0,74 (1 - |
V3) 8 |
( М |
- ) |
4 |
|
|
При других значениях п кривые более вытянуты по горизонтали. Подробному исследованию влияния начальных усилий в срединной поверхности на собственные частоты колебаний посвящены работы
127, 371.
Влияние поперечных сдвигов и инерции вращения. Учет деформации сдвига и инерции вращения приводит к некоторому уточнению частот, найденных в рамках гипотез Кирхгофа:Лява. Это уточнение тем суще ственней, чем.меньше длина полуволны форм колебаний. Кроме того, появляются новые формы собственных колебаний, соответствующие более высоким частотам. Для получения уточненных дифференциаль ных уравнений вводим триортогональную систему координат: х — вдоль
образующей; 5 — в окружном |
направлении по |
средней поверхности; |
||||
г — перпендикулярно средней |
поверхности. Предполагаем, что пере |
|||||
мещения представлены в |
виде |
|
|
|
|
|
«1 (г) = |
иг (х , |
«; |
I) + |
гр, (х, |
« |
(); |
«2(г) = и 2 (*. |
|
0 + |
гр, (х, |
г. |
<); |
|
|
«з(г) = |
ш (х , |
*; <)• |
|
|
|
Колебания сферических оболочек |
443 |
|||
Система уравнений имеет |
вид |
|
|
|
^ 11«1 -I- ^ 12^2 + |
^13^ + ^14^1 + |
^ 1*02 = |
Ф |
|
^21М 4~ ^Й2и2 + |
^23^ "Ь ^2401 |
^2»Рг = |
0; |
|
^31^1 ~Ь |
+ ЦэМ + ^34^1 + ^'35р2 = 0; |
|||
^•41^1 + |
^>42^2 Ч~ ^13^ “Ь ^44Р» Н“ ^4Г>Рз —0, |
|||
1*Ы И | Н “ |
^ 5 2 ^ 2 |
^ 5 3 ^ “ 1“ ^ - 5 4 ^ 1 "1 “ |
^ В б Р г = |
0 * |
Результаты |
[38] приведенной |
частоты |
||
“ »= м ( — )Г~) У ъ
свободных осесимметричных колебаний опертой цилиндрической обо лочки по трехмерной теории даны на рис. 15 сплошными линиями,
для сопоставления штриховыми линиями нанесены результаты вычисле ний по теории оболочек, основанной на гипотезе Кирхгофа-Лява.
КОЛЕБАНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Основные соотношения. Уравнения колебаний. Пусть срединная поверхность (рис. 16) сферической оболочки отнесена к географической системе координат ^ = 0,
*2 = Ф (в — угол широты; <р — угол дол готы). Параметры Ламе выразятся фор мулами
# 1 = /? ; н г — К 5Н1 0,
где К — радиус кривизны оболочки.
Колебания сферических оболочек |
445 |
Упрощенные дифференциальные уравнения. При определении ча стот и форм свободных колебаний, для которых напряжениями изгиба можно пренебречь по сравнению с напряжениями растяжения срединной поверхности, можно использовать упрощенные уравнения — дифференциальные уравнения безмоментной теории оболочек:
(30)
Соотношения упругости также упрощаются:
^12 — Мц = ' |
Е12- |
Для отыскания преимущественно изгибных форм колебаний могут быть использованы другие упрощенные дифференциальные уравнения. Уравнения упрощают введением двух предположений: 1) влиянием тан генциальных сил инерции можно пренебречь; 2) вкладом тангенциаль ных смещений в изменение кривизн можно пренебречь. Последователь ное проведение этих гипотез и введение функции усилий х приводит к дифференциальным уравнениям
ОДДш + -1-Д х + р Л ^ = 0 ;
(31)
ДД% — К Дш = 0.
Связь усилий в срединной поверхности с функцией % н выра жение оператора Лапласа Д даются формулами
(32)
Иногда удобно исключить из системы (31) функцию усилий
1> ДДДиу -1- Дш + рИ Дщ = 0. |
(33) |