Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Колебания сферических оболочек

451

Для нагруженной сосредоточенной силой и равномерно распределен­ ной нагрузкой сферической оболочки уравнение вынужденных колеба­ ний имеет вид (при решении по методу Бубнова-Галер кина)

 

.

*з

*2

 

*

 

(44)

о» - р р - +

«1®Ь — Ф

о

+ С3Ш0 = С4“? + <*<Э

Здесь для сокращения

принято

 

 

 

 

 

8 — 25к +20Л 3

 

сх =

-

 

 

с0 = -

120

(2к — 1)

’

(2к — I)3

 

 

^

3

 

 

X (--- ^г + 4 " “ '|"ЛЗ+2/г8“

/Е4+■

з~ 8А+б*а

рх) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

3 (2к — I )2

( 1 2

2

к + ~

Т

к* ~ 3* 3 +

 

 

 

+

3к-

 

Р1 —

3 — 8к -|-6к2

 

 

 

 

 

12

 

 

6

Р2) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сз~ 3(2/г — 1)

(

5

+ к

к2~

ЗЛ— 2

Ра)+

 

 

 

6

 

 

 

 

“Г

8

3 6 — 2

1 — V

 

 

 

 

 

 

 

Ъ

2к — 1

5а

»

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

С4 =■ 3 6 — 2

С5 =

26 — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

8л

 

 

 

 

 

 

7 — 206 +

1862 4- (р — V) (1 — 46 4- 662)

 

 

 

91-------------------------- 1

4 -р ,— V----------------------

 

 

 

 

5

 

— 9й + ( ц . — у)(1 — 3&)

 

 

 

 

И

 

 

1 + Ц — V

 

’

 

 

 

й -

" + Д .

 

( 1 +У)а- 1

 

 

Н

 

Р_

 

 

2 д

>

 

(5 + У)а—I »т

 

с|”

 

 

Особые точки уравнения (44) будут

 

 

 

 

 

 

^

(1> = °;

« « ,2- 3, =

^ г (с2 ± Г

г4

^

) .

 

 

Период колебания т* связан с амплитудами прогиба

и нагрузок

<?*,

зависимостью

 

 

^

 

 

 

 

 

 

 

=

4 я б ~ '23 2 ( I — V2) 3

1

 

—

 

 

 

 

 

в с кг*

I с

С4<?*

с*^* 1

2

 

 

3" 2 0 + 3

^ -------

]

452

 

 

Колебания оболочек

Связь

с

при ^

= 0 и V = 0,3 представлена графически

при различных значениях т = б2 (1 — V2)"1 на рис. 17 [19].

Вынужденные колебания пологих сферических оболочек. Уравнения вынужденных колебаний пологой сферической оболочки под действием периодической возмущающей силы имеют вид

й Д Дор +

Дх +

рй

=

Р„Ь (г— г0)

;

 

Ж ДДХ = ~ -Л < а .

 

Исключая из уравнений

время

х =

и) =

ж ш °* и введя

новые вспомогательные функции Р и ф по формулам

 

% ~Р —

ф; ш = А(ф — },р),

 

где

 

 

 

 

 

Ь = (рЛсод/?)-1 ,

Колебания конических оболочек

453

можно убедиться, что функции Р и ф должны удовлетворять урав­ нениям

Л КР =

0;

А (ДА — 64) ф

_ 1_

р„ (' — '«);

П

 

6< = - ^ Г

^ ____

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Частное решение последнего уравнения имеет вид

^ = - 1

^

{ 1 п | г ' -

Г » |2 +

 

дтI

 

 

 

_

 

_ _

\

+ - у №

№ 1 ? - г 0|) + Я о № |г - Г о Ш ) ;

здесь //о — функция

Ганкеля

нулевого

порядка.

уравнения будет

Общее решение соответствующего однородного

(в полярной системе

координат)

 

 

 

 

^

 

(г) С05 Лф +

 

(/•) 51П Лф],

п—0

где

4>и = ЛпГ'1+ А ™ Г Л+ В„7„ (йг) + В<"Уп (Ьг) +

+ Сп1п (Ьг) + С "'К п (Ьг).

Решение этой задачи дано Г. А. Ван-Фо-Фы и В. Н. Буйволом [12].

КОЛЕБАНИЯ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

Дифференциальные уравнения тонких упругих конических оболочек для динамического случая. Пусть срединная поверхность конической оболочки отнесена к ортогональной системе координат х, ср (рис. 18).

Тогда коэффициенты Ламе будут

= 1;

= х $щ а,

где а — угол полураствора конуса.

454

 

 

 

Колебания оболочек

 

 

 

Уравнения колебаний конической оболочки имеют вид

 

д(м 1Х)

,

 

1

а л и

1

 

_

,

л *

 

дх

 

 

 

^ — - ^ и + 9 , - р л Л ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

<? (А/г1х)

 

1

дМ2.

+

 

 

 

 

X

д*

Л 51Па

дф

 

 

 

I

1

Л7

 

^2

+ «3 =Р/1-^Г

 

 

 

+

7

^

Т Т ^Г

 

 

 

д(0,х)

+

■

 

арз

, ^зз

— <?з =

 

 

дх

 

дф

*1 § а

(45)

 

 

 

 

= -р Л

д2ИУ

 

 

 

 

 

 

 

дР

 

 

 

 

1

а (м п х)

 

 

дМп

 

 

 

 

х

дх

 

 

л: зш а

д<р — 7 ^22 —

~

Д

а (М1гх)

 

1

дМ%ъ

Ч— “ М12 — Ог — О-

*

д*

 

 

 

 

д(р

 

 

 

 

 

 

 

 

Усилия и моменты выражаются формулами (2), в которых следует

учесть, что -=— = 0, /?2 = дс12<х. Компоненты деформации н измене-

ния кривизн будут

 

,

=

а^!

 

 

 

1

аиг ,

ц1

,

ш

 

 

 

 

11

Рд;

>

**

Л $|П (X*

дх

х

 

х 1§ а

>

 

 

 

в !з

=

 

1

Г

1

дих

,

д

/

и2 \ ]

 

 

 

 

 

 

Т

[

 

д ф

+

Х -т —

 

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х 51П а

 

дх

( Ш

 

 

 

Хц

д 2Ш

;

*

м

=

 

1

д

(

дт

 

 

\

,

1

ддо

~ а 7

 

д

д ф

\

а ?

и2 соз а ^

 

—

'

 

" :

 

 

 

:2 51П2 а

 

 

 

 

 

’~д7'

 

«13

 

 

1

/

д2ш

1

 

дю

ди2

 

\

 

 

 

 

*

з

ш

а \

дхду

X

 

д ф

” а

Г

С05

°

) ■

 

 

 

 

Приближенные уравнения краевого эффекта (уравнения с большим показателем изменяемости) при пренебрежении тангенциальными силами инерции для конической оболочки примут следующий вид:

 

 

1

д2у

 

 

 

 

О Д А ш + 7 1 ё а " Ж

 

г ~ р Л < |А '1 = 0 ;

 

1

л л

 

1

д2и)

 

(46)

 

ЕН АЛх ~

х1еа "дхг

 

1 . _

д2

1 а

 

 

1

У

\

\

дх3

х * дх

*’

ха 5Ша а

’ р(р2 /

'

Колебания конических оболочек

455

Тангенциальные усилия в срединной поверхности связаны с функ­ цией напряжений формулами

АТ

1

Эф2

,

1

д % -

АТ

,

11

51П2 а

'

х

дх *

22

дх2 *

 

. ---------!—

(■

52Х

 

3% \

 

 

х

51П а

\

дхду

X " 0ф /

 

Свободные колебания конических оболочек. Полубезмоментная тео­ рия. Дифференциальные уравнения малых колебаний конической обо­ лочки, если пренебречь силами инерции в направлении образующих и использовать предпосылки полубезмоментной теории, имеют вид

 

д № гх)

 

 

I

 

 

^

=

0;

 

 

 

 

 

дх

 

+’ -з ш

а

 

 

 

 

 

 

 

д(р

 

 

 

 

 

С>ф 4- 81П а

^

д №*х)

 

 

 

 

1

дМ22

 

 

дх

 

+

 

^12 ^ '

х1&а ’

дф

 

 

 

=

X 81П

а • р/1

д*и.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а/2

 

 

 

 

 

 

 

 

4-

 

1

 

 

д*М.22 .

 

д2ш

п.

(47)

 

 

X й

5 1 П Л а

 

аф2“

+

РА ж

=

0>

 

81П а

дх

 

- 4 ^

=

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аф

 

 

 

 

 

 

дхи

з1п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ае:

 

0;

аф

 

дх

 

 

 

 

 

х1&а

я ^ - =

 

 

 

 

 

 

 

дф

 

 

х Х1

С05

а

4 -

х

1

а

а»ец

=

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

81П

 

д ф 2

 

 

 

 

Первые три уравнения системы (47) являются уравнениями движе­ ния, последние три — уравнениями неразрывности деформаций.

Удобно ввести вспомогательные функции 0, ф по формулам

1

аф в

- - § 7 ;

Каз —х зш а

аф

»

 

аэ

в -г

аэ

х 81п а

аф * г ‘а — Ж

Решение можно искать в виде

{Ио, 0. ф) = { й 2 ,0 ,Ф) 81П пуеш \

(ш, е82} = [ш, Е2а) созпфе1Ы;

Источник: https://studfile.net/preview/19992756/

Смотрите также:

17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009
- Программа ГПИ
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Просвещенный абсолютизм' Екатерины II и его влияние на развитие русской культуры