446 |
Колебания оболочек |
Собственные частоты колебании сферических сегментов. Решение дифференциального уравнения (33), соответствующее свободным, ко лебаниям пологого сферического сегмента с частотой со, можно искать в виде
до = до (г, ф) еш , |
(34) |
где г, ф — координаты точки в полярной системе координат. Подстав
ляя выражение (34) в уравнение (33), |
убеждаемся, |
что свободная |
форма колебаний должна удовлетворять уравнению |
|
|
ДДДдо — 64 Ддо = |
О, |
(35) |
где |
|
|
Но решение уравнения (35) является суммой решений дифферен
циальных уравнений в частных производных |
|
Ддо = 0 ; Дю — Ьгю = 0; Дм» 62до = 0. |
(36) |
При этом решения первого уравнения отражают статический изгиб сферического сегмента краевыми усилиями и моментами, решения второго уравнения затухают с удалением от края оболочки и характе ризуют динамический краевой эффект, решения третьего уравнения совпадают с формами свободных колебаний всюду за исключением области, прилегающей к краю.
Свободные формы колебаний удобно искать в виде
до (г, Ф) = / (г) соз гсф.
Тогда решения уравнений (36) будут иметь, соответственно, следу ющий вид:
|
/ = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
/ = В г 1п (Ьт) + |
В 2К п (Ьг)\ |
! = |
С У л (Ьг) + |
С 2 У п (Ь г). |
||||
Так как в вершине сегмента смещения должны |
быть ограничены, |
||||||||
то А2 — Вй = С2 = 0. |
Окончательно, |
функция / (г) имеет вид |
|||||||
|
! (г) = Агя + В1п (Ьг) + а |
п (Ьг), |
|
(38) |
|||||
Аналогичные выкладки для функции напряжений (усилий) |
|||||||||
приводят к формуле |
|
%= |
*Ф(г) соз пуеш |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ (О = Ргп + |
|
|
г*+* + |
р р (В1п (Ьг) - |
С1п (И ]. |
||||
Для |
иллюстрации |
удобно |
рассмотреть |
осесимметричные свобод |
|||||
ные колебания сферического сегмента |
с защемленным |
контуром. Гра |
|||||||
ничные |
условия при |
г = |
г0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и 1 |
= «а = |
до = |
ддо |
0. |
|
(39) |
|
|
|
|
|
|
|
~дг |
|
|
|
448 |
Колебания оболочек |
Радиальные колебания замкнутой оболочки; сопоставление с точным решением. Для получения точного решения необходимо исходить из уравнений теории упругости. В этом случае компонент смещения в ра диальном направлении удовлетворяет уравнению
й2иг |
2 |
<1иг |
2 |
2 |
Л |
№ |
|
|
}Г*г + * и г - 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
(аа “ |
р^а |
\ |
|
|
|
Х + 2 Ц / ’ |
|
|||
Радиальное нормальное |
напряжение |
будет |
|
||
стг = |
(Я, + 2р) |
2Х - у - . |
|
||
Решение дифференциального уравнения может быть записано в об
щем виде |
Л / |
Сх 51П аг + |
Со со® аг |
||
иг |
|||||
йг \ |
|
г |
= |
||
|
|
||||
Если гг — внутренний радиус; г2 — внешний радиус полого шара, |
|||||
то уравнение частот примет вид |
|
|
|||
1аг1+ (аМ — 0 |
>8а г 1 |
Ъ,аг2 + (аУ-2— С) агг |
|||
( “ М — ? ) —& Г1 |
а г , |
( ( ? г \ — 5 ) — ? а л 2 а г г |
|||
В случае очень тонкого шара (гг <=* г2 ^ В) приближенное значение частоты может быть найдено в явном виде
гп 1 / |
(Х + 2 |1 )С (3 - 0 |
|
V |
|
’ |
|
л Г |
2Е |
® ” |
Г |
р/?я (1 — V) * |
Этот же результат получается при использовании уравнений теории оболочек.
Влияние деформации сдвига и инерции вращения на колебания сфе рических оболочек. Учет деформации поперечного сдвига и инерции вращения приводит к уточнению частот и форм колебаний, найденных на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Это уточнение тем существенней, чем меньше длина полуволн форм колебаний. Кроме того, появляются новые формы колебаний, соответствующие более высоким частотам. Пусть сферическая оболочка постоянной толщины Ни радиусом средин ной поверхности К отнесена к полярной системе координат (г, 0, <р). Решение ищем в форме
“в = Их + гфц иФ = и2 + грх; иг - ш.
Колебания сферических оболочек |
449 |
||
Уточненные дифференциальные уравнения движения будут |
|||
Ж + Ш 9 - 1 & + |
с ' е 6 - * = |
Ж ~ « к |
|
Ж + Ш о - Ж + 2Ы^ |
в - ° ^ |
р Ш ^ |
- Щг; |
Ж + 5ТЙ-0’§ Г + <?«с ‘ 8 0 + <"*• + |
^ |
Ш + * « |
|
ж+ ж е ‘ж +
дМ12 |
1 |
•^ |
+ 2Ми с18 в — Л<?2 == рАЛЧ»*! ф , |
|
50 |
"Г 51П 0 |
|||
где |
|
|
|
Л2 |
|
к = 1 |
+ 62; |
/<! = ! + 1,8б2; 62 = |
|
|
12#2 * |
|||
В частном случае свободных колебаний замкнутой сферической
оболочки уравнение частот при к« = |
1,2, V = |
имеет вид (&2—осред- |
|||
ненный коэффициент |
сдвига) |
|
|
|
|
| |
6* [— 3,6М3 -I- (6,8 + 8.2Л0 М3 + |
(9,2 — 6,337/ — |
|||
|
— 5.6Л/2) М + (4,27 — 7.2Л/ + 0,53/V3 + Щ | + |
||||
+ |
Л42 — М (2 + ЛГ) + -5- N — |
|
(ЗкМ + 2 — Щ X |
||
|
х ( з М + 2 — ^ |
|
- * ) = 0 ; |
||
здесь |
|
рй)2 (1 — V2) К2 |
|
|
|
|
М = |
|
N = п(п + 1); |
||
|
Е |
; |
|||
п— номер присоединенной функции Лежандра. Приведенная задача рассмотрена Прасадом [45].
Нелинейные колебания пологих сферических оболочек. Для изуче ния осесимметричных нелинейных колебаний пологих сферических оболочек может быть использован метод Бубнова-Галеркина. Пусть сферический сегмент отнесен к системе координат, которая в плане является полярной. Тогда уравнение срединной поверхности будет
Компоненты деформации выразятся формулами
е |
ди |
5/ |
дур |
1 |
/ дур \ а |
1 |
11 |
Аг ' |
дг + |
2 |
^“д Г ) ; |
«22 |
|
|
|