Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3
456 |
Колебания оболочек |
использование упрощенных соотношений упругости
Л4га = ™* -^^22» |
®22 = |
^22 |
||
приводит к соотношениям |
|
|
||
ю ~ |
X 81П а |
(вда соз а — пф); |
||
л2 — соз2 а |
||||
«2 |
X 51П а |
(лв24 — -ф соз а); |
||
л2 — с052 а |
||||
|
|
|
||
шпх а + |
игх 31П а «=* |
I2 + соз2 а |
„ |
|
■а--------5— |
*2, з!п а а ; |
|||
|
|
2 — соз2 а |
|
|
ЕНх з т 3 а соз а , аТ/х/
Фл2 (л2 — соз2 а) {Х ^ ) ;
|
|
|
ЕН соз а 81П6 а |
[х2[хС*2^ ')']')'- } - |
|
||||||||
|
|
|
л2 (л2 — соз2 а) |
|
|
|
|
|
|
||||
Рп2 (л2 — соз2 а) |
1|> —х3з т 2 а |
а • рйш2 |
л2 + соз2 а |
- |
|||||||||
|
х з!п а соз а |
л2 — соз2 а |
*|) = 0 . |
||||||||||
Если оболочка шарнирно оперта (условия Навье), то краевые усло |
|||||||||||||
вия будут |
е22 = Т ц = 0 |
|
|
_ |
_ |
|
|
|
|||||
|
|
или |
^ |
= (*21|>')' = 0. |
|
||||||||
Для |
защемленного |
края |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
^ = |
|
|
|
|
|||
Решение полученного уравнения методом Галеркина дает |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Аг ] |
(е + 5 ) |
([(в + |
5)* * ']'} ’ ЙС + |
Аг | |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
(в + |
{ )» ? * « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рЛ |
1 |
|
|
(48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
* |
= (* + |
Е )/: |
Л» = |
( И - е ) ( 5 Ш |
о; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
з1па а соз2 а |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 — |
л2 (л2 -|- сов2 а) * |
|
|
|
|||||
|
А — |
|
~М)2 |
|
/ |
^ |
\ 2 |
л2 (л2 — соз2 а)2 |
|
||||
|
2 |
12 (I — V2) |
\ |
/?0 |
/ |
|
з т 3 а (л3 + соз2 а) » |
|
|||||
а — угол |
полураствори |
|
конуса; |
/ — длина |
образующей |
оболочки; |
|||||||
е/ — расстояние |
вдоль образующей от вершины |
конуса до |
меньшего |
||||||||||
среза оболочки. Решение данной задачи получено Л. Ю. Поверусом и Р. К. Ряяметом [29].
458 |
Колебания оболочек |
|
Выбранные функции удовлетворяют лишь кинематическим условиям. |
Динамические условия будут выполняться тем точнее, чем меньше будет
угол а.
Использование процедуры Галеркина приводит в одночленном приближении к следующему выражению для собственной частоты колебани”:
|
+ 12(1— |
/2 |
|
1~Е4 |
з (1 —Е2) |
X |
|||
|
V2) |
|
8 |
|
|
|
|
||
|
|
/I2 *б2 а |
|
|
к |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 - Е 6 |
|
|
2т2 |
\ |
( |
1—Е3 |
1 -Е |
|
10 |
|
|
;т2 а / \ |
6 |
|
2ап_ )+ |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
т 4 |
|
4тг |
|
\ |
1 - Е |
X |
|
|
+( 51П4 а |
|
з ш ? |
а |
/ |
2 ] |
|
||
|
х: |
1— I* |
1—Е3‘ |
, |
3(Г=—Б) |
|
(49) |
||
|
10 |
|
|
|
|
«4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Экспериментальная проверка показала, что формула (49) дает по грешность 10—15%. Эта задача рассмотрена В. Г. Годзевичем [16].
Влияние тангенциальных сил инерции. Учет тангенциальных сил инерции приводит к некоторому снижению частот преимущественно нзгибных форм колебаний и'к появлению--двух серий частот, которые соответствуют преимущественно тангенциальным формам колебаний. При этом снижение основной частоты может доходить до 15—20%. Это снижение тем существенней, чем меньшим числом волн в окружном направлении будет характеризоваться соответствующая форма колеба ний. При этом тангенциальные силы в осевом-и в окружном направле ниях неравноправны. На минимальнукгчастоту собственных колебаний наиболее существенное влияние оказывает учет инерции' в окружном направлении. Оценка влияния тангенциальных сил инерции рассмо трена Л. Г. Агеносовым [1 ] и* В. Е. Бреславским. Безразмерные пара метры частоты
0 - ^ |
) р ^ |
, |
Р = - --------- ^ |
---------- ш 2 . |
|
вычисленные при учете всех сил инерции (р) и при пренебрежении
тангенциальными силами |
инерции р* |
= 15°, V = 0,3, |
= |
= 0,003), приведены в табл. |
7. |
|
|
|
Колебания конических |
оболочек |
459 |
|||||||
7. Приведенные частоты |
р = ш |
о |
2 р |
( 1 __V 2 ) |
|
|
||||
|
И0 |
|
----— защемленной |
|||||||
|
по контуру конической оболочки при учете (р) |
|
||||||||
и пренебрежении (р*) тангенциальными силами инерции |
|
|||||||||
|
а = 15°, |
г = 0 ,3 , |
/<о |
|
=0,03, |
Я0 = |
/ $ т а |
|
||
|
Р |
Р* |
|
|
|
|
|
|
Р |
Р* |
2 |
0,0852 |
0,1214 |
|
|
7 |
|
0,9771 |
1,0058 |
||
3 |
0,0996 |
0,1012 |
|
|
8 |
|
1,6479 |
1,6888 |
||
4 |
0,1506 |
0,1543 |
|
|
9 |
|
2,6248 |
2,6828 |
||
5 |
0,2861 |
0,2955 |
|
|
10 |
|
3,9925 |
4,0718 |
||
6 |
0,5430 |
0,5621 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение метода Ритца. Выражение для потенциальной энергии |
||||||||||
деформации |
конической |
оболочки |
имеет |
вид |
|
|
||||
2я |
ха |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/=4"1 |
а<р 1 { 1 |
[(вп + <%а)2- |
|
2 (1- |
V) (е11е22 - |
<&)] + |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ЬО [(^11 Н“ ^22)^ — 2 (1 — V) 0*11^22 |
|
ДС51П а |
(60) |
|||||||
Выражение для кинетической энергии |
будет |
|
|
|||||||
|
|
2я |
|
х я |
|
|
|
|
||
|
т— г 1 * 1 * > 5 [ ( т г ) ’ + |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
Пусть оболочка оперта |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ш = и2 = |
Тп = М ц |
|
= 0 ; |
|
(52) |
||||
тогда для перемещений удобно выбрать следующие выражения:
и\ -= Ах (х зт |
а)3 соз |
тп (х — д^) |
зт |
лф; |
|
||
|
|
|
|
I |
|
|
|
и2 = |
А2 (х зт а)2 зт |
пт (х— хх) |
соз Лф; |
(53) |
|||
т = |
в , |
. |
т |
тп (х — Хх) |
|
_ |
|
Л3 (х з!п а)3 з |
----- --------- — зт |
лер. |
|
||||
Формулы (53) удовлетворяют, вообще говоря, лишь кинематическим граничным условиям (52), а в случае цилиндрической оболочки удо влетворяют также динамическим граничным условиям. Подстановка
460 |
Колебания оболочек |
|
|
|||
выражений (53) в формулы (50) |
и |
(51) |
и применение |
вариационного |
||
принципа |
Гамильтона приводит |
к |
уравнениям Лагранжа |
|
||
|
й_ |
|
= |
0 (/ = 1. 2, |
3). |
(54) |
|
|
|
||||
Подставляя в однородную систему уравнений (54) выражения
А( = ас с08
и приравнивая определитель нулю, можно найти уравнение частот
со4 -}- ^2(о2 |
= 0 . |
Эта задача рассмотрена Э. И. Григолюком [20]. Результаты вычисле ний минимальных значений безразмерной частоты
к
при различных углах полурастворах и отношениях Ко приведены
в табл. 8. В скобках приведены соответствующие числа п волн в окруж ном направлении.
|
|
|
|
|
|
0(1 — V*) I ' |
колебаний |
|
||||
опертой конической оболочки |
|
|
[ --------------------— |
|
|
|||||||
при различных углах |
|
полураствора а |
|
|||||||||
|
|
и отношениях —=— |
(К0 = (з1па) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
/1 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
Яо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
0,02 |
0,01 |
|
0,005 |
|
0,002 |
0,001 |
||||
3 |
|
|
|
0,141 (2) |
0,0769 (2) |
0,0474 (4) |
0,0340 (5) |
|||||
5 |
|
0,281 |
(2) |
0,0967 (3) |
0,0623 (5) |
0,0448 (6) |
||||||
10 |
0,419 (2) |
0,193 (3) |
0,138 |
(4) |
0,0895 (6) |
0,0656 (7) |
||||||
15 |
0,335 (3) |
0,236 (4) |
0,169 |
(5) |
0,112 |
(7) |
0,0814 (8) |
|||||
20 |
0,479 (3) |
0,381 |
(3) |
0,287 (5) |
0,199 |
(5) |
0,130 (7) |
0,0950 (9) |
||||
26 |
0,519 (3) |
0,432 |
(3) |
0,311 (5) |
0,223 (6) |
0,148 |
(8) |
0,107 |
(9) |
|||
30 |
0,562 (3) |
0,467 |
(4) |
0,337 (5) |
0,244 (6) |
0,161 |
(8) |
0,119 |
(9) |
|||
35 |
0,607 (3) |
0,499 |
(4) |
0,362 (5) |
0,264 (6) |
0,174 |
(8) |
0,128 |
(10) |
|||
40 |
0,652 (3) |
0,529 |
(4) |
0,386 (5) |
0,282 |
(6) |
0,187 |
(8) |
0,138 |
(10) |
||
45 |
0,693 (3) |
0,559 |
(4) |
0,408 (5) |
0,299 |
(6) |
0,198 |
(8) |
0,147 |
(10) |
||
50 |
0,729 (3) |
0,586 |
(4) |
0,430 (5) |
0,315 (6) |
0,210 |
(8) |
0,156 |
(9) |
|||
55 |
0,757 (3) |
0,614 |
(4) |
0,452(6) |
0,331 |
(6) |
|
0,223 |
(8) |
0,165 |
(9) |
|
60 |
0,776 (3) |
0,644 (4) |
0,479 (6) |
0,350(6) |
|
0,231 |
(7) |
0,172 (9) |
||||
65 |
0,789 (3) |
0,688 (4) |
0,493 (4) |
0,361 |
(5) |
|
0,243 |
(7) |
0,182 (8) |
|||
70 |
0,809 (3) |
0,696 (3) |
0,504 (4) |
0,376 (6) |
|
0,256 (6) |
0,194 (8) |
|||||
75 |
0,877 (3) |
0,701 |
(3) |
0,548 (4) |
0,400 (4) |
|
0 276 |
(6) |
0,207 (7) |
|||
80 |
0,891 (2) |
0,810 (3) |
0,553 (3) |
0,432 (4) |
|
0,298 |
(5) |
0,229 (6) |
||||
85 |
0,963 (2) |
0,779 |
(2) |
0,643 (2) |
0,488 (3) |
|
0,358 |
(4) |
0,283 (3) |
|||
87 |
|
0,988 |
(2) |
0,671 |
(2) |
0,564 |
(2) |
|
0,400 |
(3) |
0,322 (4) |
|
|
П р и м е ч а н и е . |
В скобках |
указано число волн |
в окружном |
||||||||
направлении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|