Материал: Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

Здесь до — прогиб пластинки* О — цилиндрическая жесткость; Н— тол­ щина пластинки; р и р0 — плотности материала пластинки и газа соот­ ветственно; Ых — растягивающее усилие в срединной поверхности. Потенциал возмущений <р удовлетворяет волновому уравнению (3), условию

условиям ограниченности и условию излучения на бесконечности. Ре­ шение уравнения (26) ищем в виде

1те до0, П и к — константы, причем Лдо0 < 1. Выражение для потен­ циала скоростей имеет вид

где Мг — число Маха в относительном движении

Фазовая скорость V распространения упругой волны в пластинке при отсутствии потока имеет следующее значение:

„ 2 йк*+ Ы х

0 = рН

Характеристическое уравнение, соответствующее данному случаю, можно записать в виде

При сверхзвуковом обтекании (М > 1) и для не слишком больших длин волн критическая скорость определяется выражением

Для несжимаемой жидкости ЦКР= К0 (Л). Для последнего случая более точной является формула

Как уже было указано, формой движения пластинки при флаттере являются волны, распространяющиеся в направлении потока. В то же время волны, распространяющиеся вверх по потоку, всегда затухают. Скорость газа относительно бегущих волн всегда дозвуковая. Для малых длин волн (порядка толщины пластинки Л) гипотеза КирхгофаЛява становится неприменимой. В этом случае неустойчивое движение пластинки имеет вид волн Рэлея, а скорость Vо совпадает со скоростью их распространения [32, 33].

Прямоугольная пластинка, опертая по контуру. Рассмотрим прямо­ угольную упругую пластинку со сторонами аиЬ постоянной толщины к. Пусть пластинка оперта по всем кромкам, вмонтирована в абсолютно жесткую диафрагму и обтекается с одной стороны сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной скоростью V (рис. 11). Уравнение малых

колебаний такой пластинки, под­ верженной постоянным растяги­ вающим усилиям Мх п Nу, имеет вид

Я Д Д ш - ( л ^ + Л ^ ) - Ь

+ рЛ ^ + ерА^ = р . (29)

Аэродинамическое давление будем определять по формуле стацио­ нарной трехмерной теории [68]:

где р = У М 2 — 1.

Интегрирование во второй формуле ведется по переднему конусу Маха. Разыскивая решение уравнения (29) в виде

придем к системе уравнений для определения />5:

|[я|*+яв ( х ) Т + ЛПЯ^х + Л а ( х ) Я^ “ ‘ ®*}х

а3р0хМа

О У Ш — 1 ’

Обобщенные силы определяют по формуле

к * - & ) а - р 2 а / - 1 1) 8] 2

Чтобы исключить из интегрирования область, лежащую вне пла­ стинки, введена ступенчатая функция

0 при т) < 0, т]> Ь\ /(•п) — 1 при 0 < 1 \ < Ь.

Величины обобщенных сил для четырех значений р — = 1, 2, 4

и оо вычислены в работе [68]. Используя условие существования не­ тривиального решения системы (30), можно получить уравнение для вычисления критического значения параметра скорости потока X*.

Для различных значений Р — и ТУ* эти значения приведены в табл. 2.

Как показали вычисления в работе [68], при изменении Nу в достаточно широких пределах параметр Хкр практически не изменяется.

2. Критические значения параметра к для прямоугольной опертой по контуру пластинки, сжатой я направлении

сверхзвукового потока

Ь

Р~ а

»*

Прямоугольная пластинка, опертая по контуру. Применение прибли­ женных формул для избыточного давления. Решение задачи для опер­ той по контуру пластинки, обтекаемой сверхзвуковым потоком, полу­ чено в работе [68] с применением для аэродинамического давления

формулы Аккерета, а в работе [47] — с применением поршневой теории. В случае применения поршневой теории аэродинамическое давление определяют по формуле

Решение ищем в виде

Уравнение для XVп (§) в этом случае можно записать следующим образом:

Характеристическое уравнение

(г2 — Д2 я2 ) 2 + Хг— о в 0

после преобразования

г1(2 = а ± !*Р;

г3)4 =— а ± ]/ р2 — 4а2

В работе [48] предложено различать две критические скорости. Первая — это дофлаттерная скорость. При этой скорости движение панели из стоячих волн переходит в бегущие волны с ограниченной амплитудой. Вторая — флаттерная скорость, т. е. скорость, при кото­ рой амплитуда бегущих волн начинает возрастать во времени. Для дофлаттерной скорости было предложено выражение [48]

Применение метода Галеркина и поршневой теории приводит к флаттерному уравнению, которое можно записать в виде [15]

( “ / - <й2 + еы ) б„п + и 1т| = о;

здесь

4//л

если / ± т — четное число,

Ъ}т = { т-

О, если 1 ± т — нечетное число.

В случае двучленного приближения критический параметр находят по простой формуле

Если демпфирование достаточно мало, то

Формулы (33) и (34) определяют значения параметра скорости, соответствующего наступлению динамической неустойчивости. При переходе через границу, определяемую этими значениями, характери­ стические показатели переходят в правую плоскость (см. рис. 6, а). Уравнения (33) и (34) определяют линию, являющуюся границей области устойчивости на плоскости характерных параметров приведен­ ной скорости и нагрузки. Кроме того, на плоскости указанных пара­ метров можно найти линию, соответствующую ю = 0: