Материал: Радиотехнические цепи и сигналы для дистанционного обучения. Останков А.В

где f n = n FM – частота n-й составляющей. Используя это выражение, можно найти амплитуды составляющих комплексного спектра огибающей амплитуд радиосигнала. Из рис. П.3.6, б следует, что мгновенные значения огибающей А(t) отличаются от мгновенных значений sИ(t) в KАМ раз; кроме того в составе огибающей есть постоянная составляющая величины S0. Тогда

S при n=0,

ɺ = 0

CnA S0 M e j(−1)n π/2 при n≠0.

nπ

Комплексные амплитуды составляющих АМ-сигнала определяются на основе комплексного спектра огибающей по теореме смещения спектра, в соответствии с которой

где n-я составляющей имеет частоту f n = ± f 0 + n FM.

При переходе к амплитудам гармоник легко получить выражение для гармонического спектра амплитуд АМ-сигнала:

215

П.3.2.2. Периодическая последовательность sИ(t) пилообразных импульсов (рис. П.3.7, а) поступает на управляющий вход идеального частотного модулятора с крутизной KЧМ, Гц/В. На второй вход модулятора подаётся несущее гармоническое колебание S0 cos(2π f 0 t + ψ0) амплитуды S0 и частоты f0.

Мгновенная частота ЧМ-колебания согласно (4) линейно нарастает в пределах периода информационного сигнала sИ(t) (рис. П.3.7, б) от минимального значения, равного fН = f0 − FД, до максимального значения, составляющего fВ = f0 + FД соответственно, где FД = KЧМ·SΩ – девиация частоты ЧМ-колебания. Соответствующий ЧМ-сигнал показан на рис. П.3.7, в.

Будем считать, что ЧМ-сигнал является периодическим – на периоде модуляции 1/FM укладывается точно k периодов колебания с изменяющейся частотой. При таком условии поиск спектра sЧМ(t) может быть сведён к расчёту спектральной плотности одиночного импульса s'ЧМ(t) с линейно изменяющейся частотой (рис. П.3.7, г).

Мгновенная частота радиоимпульса s'ЧМ(t) в пределах его длительности (t [−T/2, T/2]) определяется выражением

f (t)= f0 +2SΩKЧМ t/T = f0 +2FД FМ t,

мгновенные значения сигнала – s'ЧМ(t) = S0 cosΨ(t), где Ψ(t) – полная текущая фаза, определяемая интегралом от f(t):

t

Ψ(t)=2π ∫ f (t)dt +ψ0 =2π ( f0 t+FД FМ t2 )+π ( f0 −FД /2)T+ψ0.

−T/2

216

Первое слагаемое в полученном выражении определяет всплеск плотности вблизи частоты f0, а второе – в окрестности частоты «минус» f0. При расчёте спектра в области частот f > f0 вторым слагаемым можно пренебречь; в первом слагаемом показатель экспоненты следует дополнить до квадрата разности:

Перейдя в интеграле к новой переменной ξ=2(FД FМ t−d):

где u1,2 =FД /FМ [1±( f − f0 )/FД ], и используя хорошо известные в математике интегралы Френеля [2] −

При переходе к комплексным амплитудам составляющих комплексного спектра периодического сигнала, а затем и к амплитудам гармоник получим окончательно

217

где uˆ1 =FД /FМ +n FМ /FД , uˆ2 =FД /FМ −n FМ /FД , частота n-й гармонической

составляющей равна f 0 + n FM.

Графические зависимости интегралов Френеля от их аргумента приведены на рис. П.3.8. Заметим, что С(−x) = −С(x), S(−x) = −S(x).

П.3.2.3. Периодическая последовательность sИ(t) пилообразных импульсов (рис. П.3.9, а) поступает на управляющий вход идеального фазового модулятора с крутизной KФМ, рад/В. На второй вход подаётся несущее колебание S0 cos(2π f 0 t).

При фазовой модуляции пропорционально мгновенным значениям модулирующего колебания изменяется набег фазы радиосигнала: ϕ(t) = KФМ sИ(t) (рис. П.3.9, б). Максимальное абсолютное значение ϕ(t) на периоде модуляции (индекс m) составляет KФМ·SΩ. По окончании периода sИ(t), в пределах которого наблюдается рост ϕ(t) по закону 2KФМ SΩ t/T, происходит скачкообразное изменение фазы на удвоенное значение индекса (2m = 2KФМ·SΩ). Полагая далее, что

218

индекс модуляции m составляет r π/2 радиан (r = 1, 3, 5,...), тогда ФМ-сигнал в моменты времени ± l T/2 (l – целое число) меняет скачком фазу точно на π радиан. Текущая частота анализируемого ФМ-колебания в соответствии с (8) является постоянной и равна

f (t)= f0 +21π dϕ(t)= f0 +KФМ SΩ FM /π= f0 +m FM /π. dt

Временна́я диаграмма ФМ-сигнала показана на рис. П.3.9, в.

Сопоставив диаграммы модулированных колебаний на рис. П.3.9, в и рис. П.3.5, б, легко заметить, что временна́я зависимость анализируемого сигнала во многом совпадает с осциллограммой ФМ-колебания при модуляции периодической последовательностью прямоугольных импульсов. Отличие рассматриваемого сигнала от колебания на рис. П.3.5, б заключается в несколько другой частоте заполнения и длительности импульсов, а также в наличии запаздывания одного сигнала относительно другого.

Итак, исследуемое ФМ-колебание может рассматриваться как сумма двух сигналов: s1(t) – последовательности радиоимпульсов длительности T удвоенной амплитуды 2S0 с периодом 2T = 2/FM прямоугольной огибающей и s2(t) – гармонического колебания с фазой, противоположной s1(t). Комплексные амплитуды составляющих s1(t) могут быть записаны аналогично (П.7):

Cɺn1 =0.5S0 T FM sinc(π n T FM/2)=0.5S0 sinc(π n/2),

где fn = ± (f 0 + m FM/π) + n FM/2, а n = 0, ±1, … Для сигнала s2(t) – по аналогии с (П.8)

частоты гармоник определяются как f 0 + m FM/π + n FM/2 (n = 0, ±1, ±2,…); отклонение частот гармоник от f 0 кратно FM/2, однако, из формулы (П.12) следует,

что составляющие с номерами n = 0, ±2, ±4, ... имеют нулевые амплитуды, поэтому фактический разнос гармоник по частоте составляет FM.

219