Материал: Раскрытие неопределенностей в теории пределов. методические указания для студентов 1-го курса всех специальностей и форм обучения. Гончаров М.Д., Муштенко В.С

Из определения следует, что эквивалентные бесконечно малые функции имеют одинаковый порядок малости.

Равенство отношений двух бесконечно малых и эквивалентных им функций следует из следующей теоремы

Теорема

Если  ,  при и существует , то существует , причем

= . (20)

Кратко эта теорема формулируется следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.

Эта теорема позволяет во многих случаях упрощать отыскание пределов (раскрывать неопределенности). Смысл этого метода заключается в том, что, заменяя отношения данных функций отношением эквивалентных им функций, пределы этих отношений не изменяются, но вместо неопределенности получаем сразу конечный (или бесконечный) предел.

Замечание. Все рассуждения и формулы верны для любых предельных значений: , , , .

Легко установить эквивалентность следующих функций при :

(21)

Примеры

С помощью эквивалентных бесконечно малых найти пределы.

1. Найти .

Решение

Имеем неопределенность вида .

При функция бесконечно малая и , т.к.

Заменяя эквивалентной ей , получаем

.

2. Найти .

Решение

Так как , то заменяя в числителе данную бесконечно малую ей эквивалентной, получим

.

3. Найти .

Решение

Так как , то

.

При , , , .

Поэтому, заменяя данные функции на эквивалентные, получаем

.

4. Найти .

Решение

Поскольку , а ( ,

то .

5. Найти .

Решение. Преобразуем числитель и знаменатель, а потом заменим эквивалентными.

Так как , , то

, т.к. .

Получим .

6. Найти .

Решение

Так как ,

то .

Но при функция ( ) – бесконечно малая, тогда

.

Замечание. Если , то в ряде случаев удобно сначала ввести бесконечно малую функцию (или ).

Пример

Найти .

Решение

Здесь числитель и знаменатель функции бесконечно малые.

Однако х не является бесконечно малой функцией (стремится не к нулю, а к ), поэтому соотношение не имеет смысла.

Введем бесконечно малую , тогда

и .

Найти .

Это неопределенность вида .

Сделаем предварительно замену переменной. Если ввести обозначение , то при , тогда

.

Замечание. При вычислении пределов выражений вида , где , а (неопределенность вида ( ), удобно применить формулу (4):

. (22)

Эта формула следует из свойств логарифмов: .

Примеры

1. Найти .

Так как при , и , пользуясь формулой (10), получим .

2. Найти

= .

2. Найти .

При , т.к. разность бесконечно малая функция более высокого порядка по сравнению с и с .

Аналогично .

Поэтому

.