Материал: Развитие метода предельного равновесия для перекрестных стержневых систем из жестко-пластического материала. Викулов М.А., Ефрюшин С.В

11

В третьей главе приведён численный метод построения предельной поверхности текучести для сечения жёстко-пластического стержня с использованием процедур метода предельного равновесия.

Для оценки несущей способности жёстко-пластической стержневой системы по методу предельного равновесия для расчётных сечений требуется формулировка условий текучести. Условия текучести могут быть получены при аппроксимации нелинейной поверхности текучести сечения несколькими прямыми, проведёнными через пары точек, лежащих на поверхности текучести. Например, при действии в сечении двух изгибающих моментов поверхность текучести сечения изображена на рис. 1.

Рис. 1. Поверхность текучести сечения

С задачей получения точек на поверхности текучести сечения, инженеры сталкиваются ежедневно при проверке сечений по прочности (первая группа предельных состояний). Методики расчёта, которые представляют собой выражения равновесия сжатой и растянутой части сечения в предельной стадии при достижении материалами предела текучести (схема метода предельного равновесия), чётко закреплены в нормативных документах для ограниченного набора сечений и напряжённых состояний. При сложных формах сечений (круглых, кольцевых) и сложных напряжённых состояний (косой изгиб и т.п.) решения задач имеют сложный алгоритм. Задача построения предельной поверхности текучести, в этом случае, очень трудоёмка.

Вданной главе предложен численный метод построения поверхности текучести для произвольных сечений стержней при сложном напряженном состоянии. Сечение может иметь как однородную структуру, так и может быть композитным, причём состоять из любого количества материалов, для которых возможно формирование условий текучести. Область применения предлагаемой методики ограничивается свойствами материалов – пластическая деформация при достижении предела текучести. В нормативных документах при проверке прочности сечений считается, что данными свойствами обладают строительные малоуглеродистые стали, железобетонные конструкции с обычной и предварительно напряжённой арматурой. Поэтому, область применения предлагаемой методики совпадает с областью применения нормативных методик.

Впредлагаемом подходе область сечения разбивается на конечные подобласти, для каждой из которых формулируются условия текучести. Условия

12

текучести формулируются исходя из свойств материала данной области сечения. Допущением рассматриваемой методики, является схема разрушения стержня в плоскости нормальной к оси стержня. Далее для совокупности областей сечения составляется матрица уравнений равновесия. Используя условия текучести и уравнения равновесия, формируются математические модели задачи предельного равновесия сечения: статическая и кинематическая. Математические модели представляют собой модернизацию моделей, описанных в первой главе, и впервые используются для построения предельных поверхностей текучести сечений.

Математическая модель задачи построения предельной поверхности текучести сечения в статической формулировке имеет вид:

p0 max,

при пластическом разрушении; SS – вектор предельных усилий конечных подобластей; A – матрица уравнений равновесия конечных подобластей; – вектор распределения нагрузки; T – матрица условий текучести.

Для определения точки на поверхности текучести сечения, задают угол между горизонтальной осью и единичным вектором с помощью вектора , который определяет соотношение между действующими усилиями в сечении. В результате решения задачи ЛП однозначно определяется параметр предельной нагрузки p0 и распределение усилий S по конечным подобластям сечения. При увеличении длины единичного вектора в p0 раз, конец вектора обозначит точку на поверхности текучести сечения. Для построения всей поверхности текучести сечения, необходимо с помощью вектора описать все возможные сочетания

где – вектор скоростей деформаций; U – вектор скоростей перемещений. Результаты решения кинематической модели позволяют ответить на два

вопроса. Первый – об очередности образования пластических зон в сечении: чем больше значение скорости деформации, тем быстрее образуется пластическая зона в конечной подобласти, соответствующей данному элементу. Второй вопрос – о разделении областей сжатия и растяжения после образования пла-

13

стического шарнира в сечеении. Принадлежность конечной подобласти одной из областей, зависит от знака соответствующего элемента вектора скоростей деформаций.

Пример. Внецентренное растяжение-сжатие железобетонного сечения, изображённого на рис. 2, а. Класс бетона принят В25.

Рассмотрено два варианта армирования: несимметрично (рис. 2, а) двумя стержнями диаметром 20 мм, класс арматурной стали АIII, и симметрично из четырёх стержней диаметром 20 мм. Для решения задачи бетонное сечение разбивается на 14 подобластей, арматура вводится как отдельные подобласти. Уравнения равновесия преедставляют собой сумму всех сил (п роизведение площадей подобластей на неизвестное нормальное напряжение, при этом напряжение в пределах подобласти принято постоянным) на продольную ось элемента и сумму моментов тех же сил, относительно горизонтальной оси y. Условия текучести представляют собой линейные ограничения неизвест ных напряжений в подобластях расчётными сопротивлениями. Рассмотрено два способа решения задач: без учёта работы беетона на растяжение (как требуют нормы) и с учётом его работы. Предельные поверхности текучести, найденные предложенным методом, приведены на рис. 2, б.

Рис. 2. Поперечное сечение и предельные поверхности текучести сечения:

а – поперечное сечен ие железобетонного элемента; б – предельные поверхности текучести сечения; 1 – поверхность текучести при несимметричном армировании, без учёта

работы бетона на растя жение; 2 – то же, с учётом работы бетона на растяжение; 3 – поверхность текучести при симметричном армировании, без учёта работы бетона

на растяжение; 4 – то же, с учётом работы бетона на растяжение

Для проверки сечения по прочности необходимо нанести на предельную поверхность текучести сечения точки, соответствующие дейс твующим усилиям в сечении. Если полученные точки находятся внутри поверхности текучести сечения, то прочность обеспечена, если нет – сечение разрушится.

В диссертации найдены предельные поверхности текучести сечений, значения предельных усилий в отдельных точках которых, возможно сравнить со значениями, найденными с помощью нормативной методики. Сравнительный

14

анализ решений показал высокую точность, наглядность и эффективность предложенного метода.

Четвёртая глава посвящена исследованию несущей способности перекрёстных стержневых систем и плит на основе комплексного решения статической и кинематической задачи метода предельного равновесия. Статическая и кинематическая задача решается методом ЛП.

Аппроксимация сплошных плит системой перекрёстных стержней – приём, часто используемый в расчётной практике при определении несущей способности конструкций. В данной главе разработан алгоритм замены сплошных плит системой перекрёстных стержней при оценке их несущей способности.

Рассмотрим усилия, возникающие в плите и системе перекрёстных стержней, аппроксимирующих плиту. Введем допущение, что главными усилиями, которые определяют несущую способность плиты и системы перекрёстных стержней, являются изгибающие и крутящие моменты. В плите действуют два изгибающих момента Mxx и Myy и крутящий момент Мху. В стержне, входящем в состав перекрёстной системы, действует изгибающий момент My и крутящий момент Mx. Условие пластичности Мизеса для сечения плиты имеет вид:

где M pr S h2 4 – предельный момент сечения плиты, состоящего из одно-

На рис. 3, а показаны усилия, действующие в сечении стержня прямоугольного сечения, как отдельного элемента. В сечении возникают нормальные напряжения и касательные напряжения, параллельные контуру сечения. Траектории касательных напряжений показаны на рис.3, б.

Рис. 3. Сечения и траектории касательных напряжений: а – поперечное сечение отдельного стержня; б – траектории касательных напряжений в случае сечения отдельного

стержня; в – траектории касательных напряжений в случае сечения плиты

15

В сечении перекрёстной стержневой системы, заменяющей плиту, касательные напряжения параллельны срединной поверхности плиты – рис. 3, в. Как показали численные исследования, при назначении распределения касательных напряжений в сечении стержней параллельно срединной поверхности (как в плите), становится возможной, в задаче о несущей способности, замена плиты системой перекрёстных стержневых элементов.

Для решения обозначенной задачи необходимо воспользоваться методикой, приведённой во второй главе, с тем отличием, что условия текучести формируются на основе предельных поверхностей текучести построенных для сечений, в которых касательные напряжения параллельны срединной поверхности плиты.

Пример. Шарнирно-опёртая по контуру квадратная плита, размером в плане 4×4 м, загруженная равномерно-распределённой нагрузкой 1 кН/м2. Сечения плиты приняты однородными из материала с расчётным сопротивлением 1 кПа. Стороны плиты разбиты на 40 стержней. Поверхность текучести сечения найдена при распределении касательных напряжений в сечении по схеме рис. 3, в и аппроксимирована двенадцатью прямыми.

При решении задач ЛП в статической и кинематической формулировке параметры предельной нагрузки равны 0,01482. То есть, разрушение плиты наступит при интенсивности распределённой нагрузки 1 кН/м2×0,01482 =0,01482 кН/м2. Известное аналитическое решение даёт значение 0,015 кН/м2. Разница решений составляет 1,2 %. На рис. 4 приведены результаты решения задачи в статической (а, б) и кинематической (в, г) формулировке.

Рис. 4. Результаты решения задачи несущей способности плиты:

а– распределение изгибающих моментов перед разрушением плиты;

б– распределение крутящих моментов; в – распределение скоростей перемещений;

г– распределение скоростей деформаций (схема разрушения)