Материал: Ряды Фурье (120
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
А.Ю. Аникин, А.С. Савин, В.Я. Томашпольский
РЯДЫ ФУРЬЕ
Методические указания к выполнению типового расчета
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
УДК 517.52 ББК 22.161.1 А68
Рецензент Д.А. Приказчиков
Аникин А. Ю.
А68 Ряды Фурье : метод. указания к выполнению типового расчета / А.Ю. Аникин, А.С. Савин, В.Я. Томашпольский. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 32, [5] с. : ил.
Изложены основы теории по тригонометрическим рядам Фурье, включая сходимость рядов Фурье в среднем квадратичном, теорема Дирихле о поточечной сходимости, приближение функций тригонометрическими полиномами. Рассмотрены стандартные примеры и примеры повышенной сложности. Приведены задачи для самостоятельного решения. Даны условия задач типового расчета.
Для студентов, изучающих ряды Фурье и их приложения. Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.52 ББК 22.161.1
c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
ВВЕДЕНИЕ
Пособие посвящено рядам Фурье, членами которых являются тригонометрические функции. Такие ряды (наряду со степенными) играют важную роль в математике и различных ее приложениях. Они применяются для нахождения сумм числовых рядов, для аппроксимации функций, для решения краевых задач математической физики и т. д.
Впервые тригонометрические ряды Фурье были использованы в работах французского математика Ш. Фурье, хотя формулы для коэффициентов тригонометрического ряда встречались ранее в трудах Л. Эйлера. В дальнейшем теория тригонометрических рядов развивалась в работах Б. Римана, Л. Дирихле, У. Дини и др.
Читатель должен быть знаком со степенными рядами Тейлора. Важно отметить, что степенные ряды дают хорошее приближение функции лишь локально (т. е. около центра разложения). Приведем конкретный пример. Функция f(x) = sinx, как известно, может быть представлена в виде ряда Тейлора — Маклорена:
∞ |
|
x2n−1 |
|
|
||
|
(−1)n−1 |
|
− |
|
|
(1) |
sinx = |
(2n |
|
1)! |
, |
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
который абсолютно сходится всюду на R. Однако вычисления показывают, что при x = 2π
5 |
x2n−1 |
|
11 |
x2n−1 |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
− |
|
|
|
− |
|
|
||
(−1)n−1 |
(2n |
|
1)! |
≈ 46,55; |
(−1)n−1 |
(2n |
|
1)! |
≈ 3,19, |
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
в то время как точное значение функции равно нулю. Для достижения точности 0,01 нужно брать слагаемые ряда (1), вплоть до n = 19.
3
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Таким образом, степенные ряды могут давать плохое приближение функции вдали от центра разложения. Напротив, тригонометрические ряды Фурье, которым посвящено пособие, как правило, дают достаточно точное приближение для функции на целом отрезке.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Пусть T > 0. Функция y = f(x) называется T-периодической, если f(x+ T) = f(x) при всех x из области определения f(x). Число T называется периодом f(x) (этот период необязательно наименьший!).
Простейшие примеры 2π-периодических функций дают
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, cos3x, sin3x, ... |
(2) |
Упражнение 1. Проверить, что cистема функций (2) ортогональна на отрезке [−π, π], т. е. для любых различных функций ϕ(x), ψ(x) из множества (2)
π |
|
|
|
|
ϕ(x)ψ(x)dx = 0. |
|
|
−π |
|
|
|
Линейная комбинация функций (2), т. е. выражение вида |
|
||
|
N |
|
|
|
|
|
|
SN(x) = α0 + |
(αn cosnx+ |
βn sinnx), |
(3) |
n=1
где αn, βn R, называют тригонометрическим полиномом степени N. Тригонометрический полином является 2π-периодической функцией.
Известные формулы позволяют представить многие другие тригонометрические функции в виде тригонометрических полиномов. Например,
cos2 x = 12 + 12 cos2x; cos3 x = 34 cosx+ 14 cos3x.
5