Материал: Ряды Фурье (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Возникает естественный вопрос: можно ли произвольную (достаточно регулярную) 2π-периодическую функцию приблизить тригонометрическим полиномом? Близость тригонометрического полинома SN и функции f(x) удобно измерять с помощью среднего квадратичного отклонения:

Задача 1. Для функции

f(x) = 0, −π < x < 0; 1, 0 ≤ x < π

найти тригонометрический полином первой степени, который бы давал наименьшее среднее квадратичное отклонение на отрезке

[−π, π].

Замечание. То, что функция f(x) не является периодической, не должно смущать читателя. Мы всегда можем ее доопределить или переопределить на концах отрезка, чтобы она стала периодической. Среднее квадратичное отклонение при этом, не изменится.

Р е ш е н и е. Пусть

S(x) = α0 + α1 cosx+ β1 sinx.

Тогда

−π

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

или

1 2 S1(x) = 2 + π sinx.

Упражнение 2. Доказать, что для функции f(x) тригонометрический полином второй степени, который дает наименьшее среднее квадратичное отклонение, имеет вид

n = 0,1,2 и m = 1,2.

2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

Пусть функция f(x) задана на отрезке [−l,l]. Поставим задачу представлять функцию f(x) в виде ряда, составленного из следующих функций:

1, cos πlx, sin πlx, cos 2πlx, sin 2πlx, cos 3πlx, sin 3πlx, ... (5) Функции (5) являются 2l-периодическими и в частном случае l = π

дают систему функций (2).

Упражнение 3. Проверить, что функции (5) ортогональны на

отрезке [−l,l] (см. упражнение 1). Определение 1. Функциональный ряд вида

где a0,an,bn — вещественные числа, называется тригонометриче-

ским рядом на отрезке [−l,l].

Определение 2. Частичную сумму SN(x) тригонометрического ряда

называют тригонометрическим полиномом степени N.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Определение 3. Обозначим L2[a,b] множество функций f(x), определенных и интегрируемых с квадратом на отрезке [a,b], т. е. те множества функций, для которых существуют интегралы

Определение 4. Пусть f(x) L2[−l,l]. Ряд (6) называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x) на отрезке [−l,l], если его коэффициенты заданы следующим образом:

l

1

a0 = l f(x)dx;

−l

Коэффициенты a0,an,bn называются коэффициентами Фурье функции f(x) на том же отрезке.

В действительности справедливо следующее обобщение задачи 1 и упражнения 2.

Теорема 1. Частичные суммы SN(x) ряда Фурье функции f(x) дают наименьшее среднее квадратичное отклонение от f(x) среди всех тригонометрических полиномов степени N. При этом

Среднее квадратичное отклонение δ для функции на отрезке [−l,l] вводится по формуле (4), где π всюду заменено на l.

Смысл теоремы 1 состоит в том, что самый оптимальный (в смысле минимума среднего квадратичного отклонения) тригоно-

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

метрический ряд, который можно сопоставить данной функции, это ее ряд Фурье.

Однако остается вопрос: дают ли частичные суммы ряда Фурье разумное приближение функции f(x)? Другими словами, стремится ли SN(x) к f(x) в каком-нибудь смысле при N → ∞?

3. ТЕОРЕМЫ О РЯДАХ ФУРЬЕ

Определение 5. Говорят, что последовательность функций fn(x) L2[−l,l] сходится (или стремится) к функции f(x)L2[−l,l] в среднем квадратичном, если

−

Теорема 2. Частичная сумма тригонометрического ряда Фурье SN(x) функции f(x) L2[−l,l] стремится к f(x) в среднем квадратичном. Наоборот, если частичная сумма SN(x) некоторого тригонометрического ряда (6) стремится к функции f(x) в среднем квадратичном, то ряд (6) является тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), т. е. его коэффициенты вычисляются по формулам (8).

Эта теорема носит универсальный характер и имеет большое теоретическое значение. Однако она не отвечает на важный вопрос: сходится ли последовательность SN(x) к функции f(x) для данного фиксированного x? Действительно, из теоремы 2, во-первых, не следует сходимость ряда (6) ни при каком x. Во-вторых, даже если ряд (6) сходится, его сумма может не совпадать с функцией f(x). Поэтому мы используем обозначение « » вместо «=» для ряда Фурье функции f(x):

Определение 6. Функция f(x), заданная на отрезке [−l,l], удовлетворяет условию Дирихле, если она

10